8.3
المعادلة القابلة للفصل هي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى يمكن تقسيمها إلى جزأين مستقلين—أحدهما يحتوي فقط على x والآخر يحتوي فقط على y.
توضع الحدود y على جانب وحدود x على الجانب الآخر، مما يسمح بتكامل منفصل.
على سبيل المثال، تخيل كوب شاي ساخن يبرد في غرفة.
معدل تبريد الشاي يتناسب مع الفرق بين درجة حرارته ودرجة حرارة الغرفة. يضاف علامة سالبة إلى ثابت التناسب k للدلالة على أن درجة الحرارة تنخفض مع مرور الوقت.
المعادلة قابلة للفصل لأنها يمكن إعادة كتابتها باستخدام مصطلحات درجة الحرارة على جانب والوقت على الجانب الآخر. تكامل كلا الجانبين يعطي معادلة لوغاريتمية ذات ثابت تكامل.
عندما يتم توسيع كلا الطرفين، يظهر الحل العام، مع ثابت قد يكون موجبا أو سالبا أو صفرا. يتم إيجاد الثابت باستبدال t يساوي الصفر ودرجة الحرارة الابتدائية.
يتلاشى فرق درجة الحرارة بشكل كبير، مما يجعل الشاي يبرد بسرعة في البداية ثم ببطء مع مرور الوقت.
المعادلة التفاضلية القابلة للفصل هي نوع من معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى، حيث يمكن التعبير عن المشتقة dy/dx على أنها حاصل ضرب دالتين: إحداهما تعتمد على x فقط، والأخرى تعتمد على y فقط. ويتيح ذلك إعادة ترتيب المعادلة بحيث تكون جميع الحدود التي تتضمن y في طرف واحد، وجميع الحدود التي تتضمن x في الطرف الآخر. وتُعرف هذه العملية بفصل المتغيرات، وهي تُبسط عملية حل المعادلة من خلال إتاحة تكامل طرفيها كلٌّ على حدة.
التكامل بعد الفصل
بعد فصل المتغيرات، يمكن تكامل كل طرف من المعادلة بالنسبة إلى متغيره. وينتج عن هذا التكامل علاقة بين x و y قد تكون ضمنية أو صريحة بحسب الدوال الداخلة في المعادلة. فعلى سبيل المثال، إذا تبسطت معادلة تفاضلية إلى تعابير تتضمن قوى x و y، فإن تكامل كل طرف يؤدي إلى حدود كثيرات الحدود وإلى ثابت التكامل.
تحديد الحل الخاص
للحصول على حل خاص، يُعوَّض في الحل العام بشرط ابتدائي، مثل قيمة معلومة لـ y عند قيمة معينة لـ x. ويتيح ذلك تحديد ثابت التكامل، مما ينتج عنه حل فريد يحقق كلًّا من المعادلة التفاضلية والشرط الابتدائي. ويُعد هذا الأسلوب مفيدًا على نحو خاص في نمذجة العمليات الواقعية التي تكون فيها القيم الابتدائية معلومة، كما في النمو السكاني، والتفاعلات الكيميائية، وقوانين التبريد.
المعادلة القابلة للفصل هي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى يمكن تقسيمها إلى جزأين مستقلين—أحدهما يحتوي فقط على x والآخر يحتوي فقط على y.
توضع الحدود y على جانب وحدود x على الجانب الآخر، مما يسمح بتكامل منفصل.
على سبيل المثال، تخيل كوب شاي ساخن يبرد في غرفة.
معدل تبريد الشاي يتناسب مع الفرق بين درجة حرارته ودرجة حرارة الغرفة. يضاف علامة سالبة إلى ثابت التناسب k للدلالة على أن درجة الحرارة تنخفض مع مرور الوقت.
المعادلة قابلة للفصل لأنها يمكن إعادة كتابتها باستخدام مصطلحات درجة الحرارة على جانب والوقت على الجانب الآخر. تكامل كلا الجانبين يعطي معادلة لوغاريتمية ذات ثابت تكامل.
عندما يتم توسيع كلا الطرفين، يظهر الحل العام، مع ثابت قد يكون موجبا أو سالبا أو صفرا. يتم إيجاد الثابت باستبدال t يساوي الصفر ودرجة الحرارة الابتدائية.
يتلاشى فرق درجة الحرارة بشكل كبير، مما يجعل الشاي يبرد بسرعة في البداية ثم ببطء مع مرور الوقت.
From Chapter 8:
Now Playing
Differential Equations
453 Views
Differential Equations
685 Views
Differential Equations
412 Views
Differential Equations
371 Views
Differential Equations
352 Views
Differential Equations
289 Views