المعادلة التفاضلية القابلة للفصل

المعادلة التفاضلية القابلة للفصل هي نوع من معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى، حيث يمكن التعبير عن المشتقة dy/dx على أنها حاصل ضرب دالتين: إحداهما تعتمد على x فقط، والأخرى تعتمد على y فقط. ويتيح ذلك إعادة ترتيب المعادلة بحيث تكون جميع الحدود التي تتضمن y في طرف واحد، وجميع الحدود التي تتضمن x في الطرف الآخر. وتُعرف هذه العملية بفصل المتغيرات، وهي تُبسط عملية حل المعادلة من خلال إتاحة تكامل طرفيها كلٌّ على حدة.

التكامل بعد الفصل

بعد فصل المتغيرات، يمكن تكامل كل طرف من المعادلة بالنسبة إلى متغيره. وينتج عن هذا التكامل علاقة بين x و y قد تكون ضمنية أو صريحة بحسب الدوال الداخلة في المعادلة. فعلى سبيل المثال، إذا تبسطت معادلة تفاضلية إلى تعابير تتضمن قوى x و y، فإن تكامل كل طرف يؤدي إلى حدود كثيرات الحدود وإلى ثابت التكامل.

تحديد الحل الخاص

للحصول على حل خاص، يُعوَّض في الحل العام بشرط ابتدائي، مثل قيمة معلومة لـ y عند قيمة معينة لـ x. ويتيح ذلك تحديد ثابت التكامل، مما ينتج عنه حل فريد يحقق كلًّا من المعادلة التفاضلية والشرط الابتدائي. ويُعد هذا الأسلوب مفيدًا على نحو خاص في نمذجة العمليات الواقعية التي تكون فيها القيم الابتدائية معلومة، كما في النمو السكاني، والتفاعلات الكيميائية، وقوانين التبريد.