8.3: 学生 t 分布

在许多日常统计示例中，总体标准差很少为人所知。当样本量较大时，使用置信区间很容易估计总体标准差，从而提供足够接近原始值的结果。然而，当样本量较小时，统计学家遇到了问题。样本量小会导致置信区间不准确。

学生 t 分布由爱尔兰都柏林吉尼斯啤酒厂的 William S. Goset （1876–1937） 开发，用于估计样本量较小时的总体标准差。此发行版的名称来自 Gosset 使用的笔名 “Student”。

每当使用 s 估计 σ 时，都会使用 Student t 分布。如果从具有均值 μ 的近似正态分布中抽取大小为 n 的简单随机样本，则计算出 σ 和 t 分数的总体标准差，则 t 分数将遵循具有 n – 1 自由度的学生 t 分布。t 分数的解释与 z 分数类似。它测量一个值与其均值μ的距离。对于每个样本数量 n，存在不同的 Student t 分布。

t 分数或统计数据如下:

Student t 分布的属性:

1. Student t 分布的图形类似于标准正态曲线。
2. Student t 分布的均值为零，并且分布大约为零对称。
3. Student t 分布的尾部概率大于标准正态分布，因为 t 分布的散布大于标准正态分布的散布。因此，Student t 分布曲线的尾部较粗，中心较短。
4. Student t 分布的确切形状取决于自由度。随着自由度的增加，Student t 分布的图形变得更像标准正态分布的图形。
5. 假设单个观测值的基础总体呈正态分布，总体均值μ未知，总体标准差σ未知。

本文改编自 第 8.2 节，使用学生 t 分布的单一总体均值，Introductory Statistics，Openstax，