流函数

在二维不可压缩流体流中，连续性方程对于确保质量守恒至关重要，这意味着进入或离开某个区域的流体的任何变化都会被其他地方的相应变化所抵消。对于密度保持不变的不可压缩流，此要求简化为速度场散度必须为零的条件。从数学上讲，这表示为，

其中 u 和 v 分别代表水平和垂直速度分量。

为了固有地满足这个方程，引入了流函数 ψ，它允许速度分量以 ψ 进行定义：

因为 ψ 的混合偏导数相抵消，这些定义自动满足连续性方程。

流函数 ψ 沿流线是恒定的，流线是流体粒子在流中遵循的路径。因此，流线可以可视化为 ψ 的轮廓线，从而清晰地表示流体运动。每条流线在其路径上的任何一点都与速度矢量相切，从而表示流动方向，而无需单独计算每个点的速度。

此外，两条流线之间 ψ\psiψ 值的差异表示它们之间每单位深度的体积流速，从而可以直接计算流速。此性质大大简化了二维不可压缩流的分析，无需分别求解 u 和 v 的方程。因此，流函数 ψ 是建模和解释不可压缩、稳定流应用中流体行为的强大工具。