二阶导数检验：问题解决

考虑一个横截面积随高度变化的杯子——其底部和顶部较宽，中间较窄。

当以恒定的体积流速将咖啡倒入此杯中时，咖啡液面随时间上升。液面上升的速率与该高度处的横截面积成反比。

曲线的凹凸性取决于高度对时间的二阶导数的符号。

在马克杯的下半部分，横截面积的变化导致液面高度加速上升。由于液体高度在此区域内呈加速变化，其二阶导数为正，因此形成一条上凹的曲线。

另一方面，横截面积在上半部分增加，并表现出相反的效果，即高度减缓，意味着二阶导数为负，对应于曲线上凹向下的区域。

拐点标志着凹凸性发生变化的位置。

在此示例中，拐点位于杯体中部附近，此处横截面积最小。因此，由二阶导数表示的高度加速度在由正值变为负值后已降至零。