序列

序列是数学中最基本的数学对象之一，由遵循特定规律或模式的有序数列构成。序列在诸多数学领域中发挥着关键作用，包括微积分、级数以及数论等。它们还可用于刻画现实世界中的多种现象，例如人口增长、金融投资，以及诸如弹跳球高度逐渐减小等物理过程。

序列中的每一个数字称为一项。通常，这些项记作 a_1、a_2、a_3、…，下标表示其在序列中的位置。当规律清晰时，序列常以省略号表示其延续性。

从数学角度来看，序列也可视为一个函数，其定义域为自然数集，每个自然数对应序列中的某一特定项。这种函数化的表示方式在显式或递归定义序列时具有重要作用。

递归序列是指每一项由前一项或前若干项决定的序列。其中最著名的例子是斐波那契数列，其每一项均等于前两项之和：

这一定义强调了每一项对前项的依赖关系，这是递归序列的典型特征。

部分和指的是序列前若干项的累积和，它在研究随着项数增加而变化的总和趋势方面具有重要价值。对于序列 {a_n}，第 n 项部分和的表达式为：

对序列、递归定义以及部分和的理解，是进一步探讨更高层次主题（如无穷级数、收敛性与数学归纳法）的基础。

此外，望远镜型序列是一类特殊的序列，其特征在于当部分和展开时，大多数项会相互抵消，从而使求和过程显著简化。在望远镜级数中，第 n 项部分和通常可化简为少数几项（通常为首项与末项）之间的差，从而得到简明的闭式表达式。这一性质在求解无穷级数与证明收敛性时尤为有用。