曲面积分

考虑粉刷一个曲面屋顶。所需油漆的成本取决于曲面面积，该面积通过将参数域 D 划分为若干小矩形来计算。

每个矩形的参考点通过一个向量值函数映射到曲面 S 上的特定坐标。

在该映射点处，利用两个切向量构建一个切平面，这两个切向量是向量值函数的偏导数。

将这些向量按网格尺寸缩放后，可得到构成一个小平行四边形的边向量。该形状在线性意义上近似于曲面片的面积。该面积通过计算两向量叉积的模来求得。

然后将所有平行四边形的面积相加，得到一个黎曼和，用以近似曲面面积。

当矩形数量趋近于无穷大时，该和式便成为在区域 D 上的二重积分。

对于一般的曲面积分，需在每个小块上选取一点计算函数 f 的值，并将其乘以该小块的面积。此过程最终得到面积公式。

最后，将总面积乘以单位面积的涂料价格，得到总成本。