磁致旋转瑞利-泰勒不稳定性

摘要

我们介绍一种制备双层密度分层液体的方案，该液体可被加速至整体旋转状态，随后通过施加梯度磁场诱导产生瑞利-泰勒不稳定性。

摘要

研究瑞利-泰勒不稳定的经典技术包括使用压缩气体¹、火箭推进²或直线电动机³来反转有效重力方向，使较轻的流体向较重的流体加速。其他研究者^{例如 4,5,6}则采用隔板将重力上不稳定的分层流体分隔开，随后移除隔板以启动流动。然而，在旋转分层的情况下，抛物面初始界面在实验上带来了显著的技术困难。我们希望能够在分层流体达到刚体旋转状态后，再启动流动，以便研究旋转对瑞利-泰勒不稳定的影响。我们在此采用的方法是利用超导磁体的磁场调控两种液体的有效重量，从而触发流动。我们使用标准的浮力技术构建一个重力上稳定的双层分层结构：上层流体密度低于下层流体，因此系统在瑞利-泰勒意义上是稳定的。随后将该分层结构加速旋转，直至两层均达到刚体旋转状态，并形成抛物面界面。本实验所用流体的磁化率较低，|χ| ~ 10^-6 - 10^-5，与铁磁流体相比磁响应较弱。磁场的主要效应是对每一层施加体积力，从而改变其有效重量。上层流体呈弱顺磁性，而下层流体呈弱抗磁性。当施加磁场时，下层流体被磁体排斥，而上层流体则被吸引向磁体。通过施加高梯度磁场，可实现瑞利-泰勒不稳定。我们进一步观察到，增加各层流体的动力粘度会增大不稳定结构的特征长度尺度。

引言

由两层流体组成的密度分层系统在重力场中可以处于稳定或不稳定的构型。若密度较大的重层位于密度较小的轻层之下，则系统是稳定的：界面上的扰动是稳定的，会被重力恢复，且界面可以支持波的传播。若重层位于轻层之上，则系统不稳定，界面上的扰动会不断增长。这种基本的流体不稳定性称为瑞利-泰勒不稳定性^7,8。在非旋转系统中，若系统朝向较重流体层加速，也会观察到完全相同的不稳定性。由于该不稳定性具有基本性质，因此在尺度差异极大的多种流动中均可观察到：从小尺度的薄膜现象⁹到天体物理尺度的结构，例如在蟹状星云中观测到的指状结构¹⁰，这些结构由脉冲星风穿过较密的超新星遗迹时加速形成。一旦界面上建立了初始的不稳定密度差，如何控制或影响瑞利-泰勒不稳定性仍是一个开放性问题。一种可能的途径是考虑系统的整体旋转。本实验的目的是研究旋转对系统的影响，以及这是否可能成为实现稳定化的一种途径。

我们考虑一个流体系统，该系统由两层在重力作用下具有引力不稳定分层的流体组成，且系统绕平行于重力方向的轴进行稳定旋转。对这种不稳定的两层密度分层施加扰动，会在界面处引发斜压性的涡量生成，即发生翻转，从而倾向于破坏任何垂直结构。然而，已知旋转流体会自发组织成沿旋转轴对齐的相干垂直结构，即所谓的“泰勒柱”¹¹。因此，所研究的系统中存在两种效应的竞争：一方面，旋转具有稳定作用，促使流动形成垂直结构并阻止两层流体发生翻转；另一方面，较重流体位于较轻流体之上的构型具有失稳作用，会在界面处产生翻转运动。随着旋转速率的增加，流体层为重新排列成更稳定构型而进行的相反方向径向运动，会越来越受到泰勒-普劳德曼定理^12,13的抑制：径向运动被削弱，随着不稳定性的演化，所观测到的结构尺度也更小。图1定性地展示了旋转对不稳定性发展过程中形成的涡旋的影响。左侧图像中无旋转，流动近似于经典的非旋转瑞利-泰勒不稳定性；右侧图像中除系统绕与水箱中心对齐的垂直轴旋转外，其余实验参数均与左侧图像相同。可以看出，旋转的作用是减小所形成涡旋的尺度，进而导致不稳定性的发展比非旋转情况更缓慢。

改变流体中应力张量的磁效应可被视为以类似于修改后的引力场的方式作用。因此，我们能够创建一个引力稳定的分层结构，并使其进入刚体旋转状态。通过施加梯度磁场产生的磁体力随后模拟了改变引力场的效果。这使得界面变得不稳定，从而使流体系统在良好的近似下表现为旋转条件下的经典瑞利-泰勒不稳定性。这种方法此前已在二维情况下尝试过，但未引入旋转^14,15。对于施加的梯度磁场，若其感应磁感应强度为 B，则作用于磁体积磁化率 χ 恒定的流体上的体力由公式 f = grad(χB²/µ₀) 给出，其中 B = |B|，µ₀ = 4π × 10^-7 N A^-2 为真空磁导率。因此，我们可以认为磁体能够调节每一层流体的有效重量，其中在重力加速度为 g 的引力场中，密度为 ρ 的流体单位体积有效重量为 ρg - χ (∂B²/∂z)/(2 µ₀)。

方案

注意：实验装置如图2所示。该装置的主要部分包括一个安装在铜圆柱体（直径55 mm）上的旋转平台（300 mm × 300 mm），该铜圆柱体在自身重力作用下进入超导磁体（1.8 T）的室温垂直孔道中。平台通过一个偏心电机驱动，电机带动带有钥匙孔形孔口的滑动轴承旋转。铜圆柱体连接到一个钥匙形状的驱动轴上，当释放固定销后，驱动轴同时开始旋转并下降。

1. 非标准设备的准备

1. 浮力船
   1. 制作船体尺寸时，应确保其能舒适地置于实验水箱内，且不接触箱壁。
      注：浮力船（见图3）由聚苯乙烯侧壁和海绵底座构成。
   2. 用一层结实的纸巾包裹海绵以作保护。
      注：纸巾的作用是尽可能消散倒入船内液体所产生的垂直动量。

2. 实验准备

1. 液体层的制备
   1. 让蒸馏水升至实验室温度（22 ± 2 °C）。每次实验需约650 mL。
      注意：让混合物充分平衡可防止因空气析出而在实验中产生气泡。
   2. 将蒸馏水均分为两等份，分别置于两个独立的容器中， A 和 B，将分别用于制备密度较大的下层液体和密度较小的上层液体。
   3. 原位之外 致密下层的制备。将容器内的组分 A:
      1. 加入 NaCl 以达到每升水含 0.43 mol NaCl 的浓度（约需每升水加入 25 g NaCl）；
      2. 将0.33 g红色和蓝色水示踪染料加入下层容器中（例如，Cole-Parmer 00295-16 & -18);
      3. 加入0.1 g L^-1 荧光素钠
         注意：下层现在将呈现不透明外观，密度约为 1012.9 ± 1.2 kg m^-3.
   4. 原位之外 轻质上层的制备。将容器内的内容物 B:
      1. 加入 MnCl₂ 盐以达到 0.06 mol MnCl 的浓度₂ 每升水（约12 g MnCl）₂ 每升水。
         注意：上层将呈透明状，密度约为 998.2 ± 0.5 kg m^-3.
   5. 为了改变流体层的黏度，可加入甘油 C₃H₈O₃ 以等量加入各层，直至达到所需黏度。典型的黏度范围为 1.00 × 10^-3 - 21.00 × 10^-3 帕·秒。每一层的黏度相同。
      注意：混合物可安全地分别存放在各自的容器中，直至需要时使用。
   6. 原位外 密度梯度制备
      1. 加入容器中内容物的300 mL A 至圆柱形内罐（见 图2).
      2. 将浮力船的海绵浸入容器中的液体 B.
         注意：在步骤（2.1.6.2）之后，该操作对时间敏感，因此在磁体以及照明、记录和机械装置全部准备就绪之前，不得进行任何后续步骤。
      3. 将浮力船从容器中取出 B 当其停止滴液后，小心地将漂浮舟放置于内层圆柱形罐中浓密液体的液面上。
      4. 开始从容器中加入轻层液体 B 以3 mL/min的流速向浮选舟中加液。随着浮选舟逐渐从两相界面处上浮，逐步提高流速。流速应保持足够缓慢，以避免流体动量增加扰动两相界面，但又需足够快，使该过程不超过20分钟。持续加液，直至上层液体体积达到320 mL。
         注意：下层深度约为 33 mm，上层深度约为 39 mm。
      5. 小心地将亚克力盖板放入上层液体中，使各层液体的深度相等。让液体和空气通过排气孔流动，确保盖板下方无气泡滞留。观察到盖板上方有一层约6 mm厚的透明浅色液体层。
         注意：如果过程成功，将出现两层深度相等的液体，其间具有清晰的界面。此时，界面处扩散层的厚度将小于2 mm。
   7. 将外层水箱注入清澈的蒸馏水，水位高度应高出内层水箱亚克力盖板6 mm。正视观察时，内层圆柱形水箱不会因曲面产生折射导致的视差。
      注意：由于此时各层中的液体正在持续穿过界面扩散，需立即进行以下步骤。
2. 分层的自旋上升
   1. 将实验用鱼缸放置在平台上。
   2. 将装置放置到位，使铜圆柱体位于磁体的内孔中，驱动轴穿过轨道上的钥匙孔形开口，并将固定销置于指定位置。确保储液罐远离磁体（60 cm），使得在此位置液体所受的磁力可忽略不计。
      注意：携带装有分层液的实验容器时困难较少；行走时容器中产生的长波长、低振幅晃动波会迅速衰减，对上层液体浮置后所形成界面的质量影响可忽略不计。
   3. 打开电机，以 0.002 rad s 的速率增加旋转速度^-2，将流体加速至目标转速。对于本实验中的转速， ¹⁶ 自旋上升时间约为20分钟至60分钟。
      注意：所使用的最快旋转速率为 13.2 rad s^-1.

3. 实验执行

1. 确保磁体指示的磁场强度为 1.2 T，并且在不稳定性启动的高度处，磁场梯度为 (grad B²)/2 = -14.3 T² m^-1，其中 B 为磁感应强度。
2. 调整摄像机位置，使得当驱动轴处于最低位置时，实验的侧视图清晰对焦，或通过置于实验装置上方的镜子获得清晰对焦的俯视图。
3. 确保环境光照处于合适水平，使摄像机捕获的图像无任何区域过曝，同时充分利用整个响应范围（灰度强度范围为 0–255）。
4. 开始视频录制（240 fps）。使用遥控器操作录制功能，以避免在启动录制时扰动摄像机。
5. 拔出固定销钉，使容器在旋转的同时下降进入磁场。

4. 重置实验

1. 重置实验装置
   1. 使用遥控器停止视频录制。
   2. 将视频文件保存至磁盘。
   3. 手动逐步降低电机电压，使其缓慢停止，以防止液体溅出。
   4. 从磁体上取下实验装置。
   5. 妥善处理混合的液体层（参见四水氯化锰的材料安全数据表）。
   6. 用水冲洗容器，直至所有盐类残留物被彻底清除（无需使用蒸馏水）。避免皮肤直接接触液体。
   7. 用纸巾小心擦干容器，确保无任何残留物，以免污染后续实验。

5. 图像处理

1. 从每个视频帧中提取单个图像，并以无损 .png 格式保存。遮蔽每个帧中的任何不需要区域，例如平台或铜圆柱体。
2. 使用离散快速傅里叶变换，计算在不稳定性启动后 2 秒内每个图像帧的二维自相关函数¹⁶。记录实验旋转速率和流体层黏度条件下观测到的波长的最小值、平均值和最大值。

结果

图4展示了两种流体界面处瑞利-泰勒不稳定性在四种不同旋转速率下的发展情况：Ω = 1.89 rad s^-1（第一行）、Ω = 3.32 rad s^-1、Ω = 4.68 rad s^-1 和 Ω = 8.74 rad s^-1（最后一行）。界面随时间的演化过程从 t = 0 s（左列）开始，以 0.5 s 为间隔，直至 t = 3.0 s（右列）。因此，右列分别对应从上到下各行为 0.90、1.59、2.23 和 4.17 个完整的旋转周期。

在早期（t ~ 0.5–1.0 s）可以观察到界面出现扰动，表现出一个主导的长度尺度。可观察到类似蛇形对流卷的结构¹⁷。尽管水箱中心区域最先失稳，但并未明显从水箱中心开始；近似而言，失稳是在整个水箱范围内同时发生的...

讨论

该方案中有两个关键步骤。第一个是步骤 2.1.6.4：若轻质层过快地加在重质层之上，则两种可混溶的液体层会发生不可逆的混合。必须避免这种情况，确保两层之间形成清晰的界面（<2 mm）。第二个关键步骤是步骤 3.1.5：若实验在未完全达到刚体旋转状态，或可视化与图像采集装置未就位并处于待机状态时即释放靠近磁体，则需重复步骤 2.1.6 的操作。

在开始进行分层之前（2.1.6），可预先验证液体层的组成、磁场强度以及电机性能。因此，大多数实际操作中的困难均可在启动具体实验前得以解决。然而，我们发现样品进入磁场时的下降速度存在微小但不理想的变化。通常情况下，转速较快的实验样品进入磁场的速度略慢于转速较慢的实验样品。尽管我们尝试通过润滑滑动轴承来减小下降速度的变异性，但并未奏效，可能需要对滑动轴承进行改进。我们发现，在平台上放置一个微小的（非磁性）重物后，所有实验均可实现一致的下降速度，达到 10 ± 1 mm s^-1。

该装置的主要局限性在于磁场无法瞬时施加；超导磁体需要1-2小时才能完成励磁。理想情况...

材料

本文使用的材料清单

姓名	公司	目录编号	评论
蓝色水示踪染料	Cole-Parmer	00295-18
红色水示踪染料	Cole-Parmer	00295-16
氯化钠			>99% 纯度
四水合氯化锰			参见材料安全数据表（MSDS）
荧光素钠盐
磁铁	Cryogenic Ltd. London