使用光杠杆法测量克拉尼模式形状

摘要

提出了一种基于光杠杆原理测量弹性板上克拉尼模式形状的简单方法。

摘要

定量测定弹性板的克拉尼图案在物理科学和工程应用中均具有重要意义。本文提出了一种基于光学杠杆法测量振动板模态形状的方法。实验中采用了三种不同的中心谐波激励，对三个圆形亚克力板进行了测量。与传统方法不同，这种新方法仅使用一支普通激光笔和一块由磨砂玻璃制成的光屏。具体方法如下：激光笔将一束光垂直投射到振动板上，随后该光束被反射至远处的光屏上，在光屏上形成由反射光点移动轨迹构成的线段。由于视觉暂留效应，该移动的光点可被观察为一条明亮的直线。通过代数运算，可得到模态形状斜率、光斑线段长度以及振动板与光屏之间距离之间的关系。随后，结合适当的边界条件对斜率分布进行积分，即可确定模态形状。通过这种简单的方法，还可进一步获得克拉尼板的全场模态形状。

引言

克拉德尼模态形状在科学和工程应用中具有重要意义。克拉德尼图案是物理波的响应现象，可通过多种方法来展示这种波的图案。通过勾勒出节线来显示弹性板上不同振动模式是一种众所周知的方法。通常使用微小颗粒来呈现克拉德尼图案，因为这些颗粒会停留在振动振幅相对为零的节点处，而节点的位置随共振模式的不同而变化，从而形成各种各样的克拉德尼图案。

许多研究人员关注了各种克拉尼图案，但这些图案仅展示了振型的节线，而节线之间的振型（即振动振幅）并未呈现。Waller 研究了圆形¹、方形²、等腰直角三角形³、矩形⁴和椭圆形⁵板的自由振动，并展示了不同的克拉尼图案。Tuan 等人通过实验与理论方法重构了不同的克拉尼图案，并在理论建模中采用了非齐次亥姆霍兹方程^6,7。目前常用激光多普勒测振仪（LDV）或电子散斑干涉法（ESPI）对克拉尼图案的振型进行定量测量^8,9,10。尽管 LDV 能实现飞米级的振幅分辨率和极高的频率范围，但其价格对于课堂教学演示或大学物理教学而言略显昂贵。鉴于此，本文提出一种低成本的简便方法，用于对克拉尼图案的振型进行定量测定，仅需额外使用一支激光笔和一个透光屏即可实现。

当前的测量方法如图1¹¹所示。振动板具有三个不同的位置：静止位置、位置1和位置2。位置1和位置2代表板的两个最大振动位置。激光笔向板的表面投射一束直线光束，当板处于静止位置时，激光束将直接反射到光屏上。当板分别处于位置1和位置2时，激光束将分别反射到光屏上的点A和点B。由于视觉暂留效应，光屏上将出现一条明亮的直线。亮线的长度L与光屏到激光点位置之间的距离D相关。板上不同点具有不同的斜率，可通过L与D之间的关系确定。在获得板上不同位置处振型的斜率后，问题转化为一个定积分问题。结合板的边界振动幅值和离散的斜率数据，即可方便地获得振动板的振型。整个实验装置如图2¹¹所示。

本文介绍了利用光杠杆法测量克拉尼模式形状的实验装置与操作步骤，并展示了一些典型的实验结果。

方案

1. 实验设置与操作步骤

注意：按照图2所示设置实验系统。

1. 振动系统的准备
   1. 准备三块厚度为1.0 mm、直径分别为150 mm、200 mm和250 mm的圆形镜面亚克力板。在每块板的中心钻一个直径为3 mm的孔，并沿任意一条半径方向每隔5 mm标记一个黑点。
   2. 用螺栓将每块板固定在振动器的驱动杆中央位置。使用波形发生器以正弦波驱动振动器，默认设置即可满足共振实验的需求。
      注意：振动器的激励方向为水平方向，以便后续移动屏幕。
   3. 共振频率的获取
      1. 放置激光笔，使其激光束垂直照射到振动板上，并将光束反射至远处的光屏上。激光笔与板之间的距离为120 mm，与光屏之间的距离为500 mm。
         注意：光屏与振动板之间的距离越远，现象越明显。需指出的是，本方法可用于测量轴对称或非轴对称的振型。出于简化和方便考虑，本文仅演示该方法在确定三块圆形板轴对称振型中的应用。因此，我们只需沿任意径向测量振动振幅，即可重建板的二维振型。
      2. 沿垂直于激光笔长度的方向移动激光笔，使入射点扫描过板的直径，同时连续改变信号发生器的频率。快速扫描，直到在某一频率范围内观察到光斑沿直径方向显著拉长，而某些频率下光斑几乎无扩展。对于直径为150 mm、200 mm和250 mm的板，扫描的频率范围分别为200–400 Hz、100–300 Hz和50–250 Hz。
      3. 在该特定频率范围内缓慢扫描，选出光斑扩展最明显的频率。实验发现，直径为150 mm、200 mm和250 mm的板的共振频率分别为346 Hz、214 Hz和150 Hz。
2. 光路与测量系统的准备
   1. 将光屏平行放置于振动板前。使用米尺标记距离，并以500 mm作为起始距离。
   2. 放置激光笔，使其光束垂直照射到板上，并将反射光投射至远处的光屏上。确保在移动激光笔时能够扫描到之前标记的点。
      注意：激光束必须垂直照射到板上。
3. 实验测量
   1. 打开信号发生器，将激励频率设置为步骤1.1.3.3中获得的共振频率。当光屏上的光斑足够大可被记录时，信号强度应尽可能小。
   2. 调节激光笔，使入射点与第一个标记点重合，该点为距板固定端最近的标记点。
   3. 将光屏从距离 D 为500 mm的位置逐步移动至1000 mm，每隔50 mm测量一次光屏上的光斑长度 L，并将数据以表格形式记录。
   4. 调节激光笔，使入射点依次与下一个标记点对齐，并重复步骤1.3.3，直至所有标记点均完成测量。
      注意：由于亚克力板在激励下容易发生塑性变形，因此一块板的实验测量过程不能长时间中断。
   5. 更换为下一块板，并重复步骤1.3.1至1.3.4。

2. 数据处理

1. 确定角度 θ 入射光与反射光之间的关系为：
   
   其中 D 是振动板静止位置与光屏之间的距离， w 是平板的振动幅度，以及 L 是光斑在光屏上的长度。多组 D 和 L 在步骤 1.3.3 中获得。
2. 确定斜率 模态振型的：
   
   注意：使用公式（1）和（2）得到的斜率始终为正值。
3. 在两个零点之间使用减号以获得真实的斜率分布。
   注意：从第一个或第二个零点开始校准均不影响结果。
4. 对每块板的坡度分布进行积分，并通过节点确定积分常数，从而得到如下所示的振型：
   
   注意：节点对应于振型的最大斜率。该常数由所示克拉尼图形的节线位置确定。 图2.
5. 计算斜率的不确定性¹² 与：
   
   注意： t_0.95(n – 2）是 t 95% 置信度下的分布因子及自由度 n-2，此处约为2。 S_r 是线性回归的标准误差，其中 D 和 L, U_m 表示测量距离的不确定性 D_i，此处为 0.5 mm。平均测量距离由以下定义 ，以及 n 表示测得的总数 D_i.

结果

通过频率扫描测试确定了能够激发轴对称Chladni图样的激励频率。测试了三种直径分别为150 mm、200 mm和250 mm的圆形亚克力板，结果表明这三种板的一阶轴对称共振频率分别为346 Hz、214 Hz和150 Hz。结论表明，随着直径增大，板的刚度降低，变得更加柔韧，相应的共振频率也随之减小。不同直径亚克力板的Chladni图样如图3¹¹所示。

在相应的共振频率下，可测量并记录不同板在光屏上光斑的长度。通过公式(1)可获得振型斜率的回归值，其沿板A、B和C径向方向的分布见表1¹¹，这些值是通过测量特定激光点在不同距离D下的多个不同光斑长度L确定的。

采用 ANSYS 进行数值模拟，以验证当前的实验结果。APDL（ANSYS 参数化设计语言）的脚本代码作为补充文件 1提供。图 4¹¹展示了当前实验结果与数值模拟结果在不同板的振型上的对比。可以非常清楚地看出，在不同条件下，所有结果均吻合良好，证明了当前方法在测量板振型方面的可行性。

图1：当前测量方法的示意图。
本图展示了基本的测量原理，重点说明入射光与反射光束以及不同几何参数之间的关系。请点击此处查看此图的放大版本。

图2：实验装置示意图。
提供本实验装置的图片，以便清晰理解并易于重复该测量方法。请点击此处查看此图的放大版本。

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图3：不同亚克力板的克拉尼图形：(a) 150 mm，(b) 200 mm，(c) 250 mm。
分别展示了三种不同尺寸的圆形亚克力板的克拉尼图形。棕色颗粒为沙粒，清晰地显示出克拉尼图形的节线。请点击此处查看此图的放大版本。

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图 4：不同尺寸板的模态振型实验结果与数值模拟结果对比：(a) 150 mm，(b) 200 mm，(c) 250 mm。
通过对比 ANSYS 获得的数值结果与本文实验结果，以验证当前实验方法的可靠性。请点击此处查看此图的放大版本。

平板 A (直径=150 mm)			平板 B (直径=200 mm)			平板 C (直径=250 mm)
r/mm	直接计算斜率	修正后斜率	r/mm	直接计算斜率	修正后斜率	r/mm	直接计算斜率	修正后斜率
5	0.001913	0.001913	7	0.002668	0.002668	7	0.0013	0.0013
10	0.001478	0.001478	12	0.00269	0.00269	12	0.001613	0.001613
15	0.00144	0.00144	17	0.002785	0.02785	17	0.002055	0.002055
20	0.001088	0.001088	22	0.00269	0.00269	22	0.002283	0.002283
25	0.00061	0.00061	28	0.002543	0.002543	27	0.002618	0.002618
30	0.000388	0.000388	38	0.001858	0.001858	32	0.00256	0.00256
35	0.000883	-0.000883	48	0.000748	0.000748	37	0.00209	0.00209
40	0.001733	-0.001733	58	0.000668	0.000668	42	0.002128	0.002128
45	0.002478	-0.002478	68	0.00082	-0.00082	47	0.001723	0.001723
50	0.003433	-0.003433	72	0.001583	-0.001583	52	0.001568	0.001568
55	0.00389	-0.00389	77	0.00241	-0.00241	57	0.001	0.001
60	0.002705	-0.002705	82	0.002813	-0.002813	62	0.004175	0.004175
65	0.002283	-0.002283	87	0.0026	-0.0026	67	0.001175	0.001175
70	0.002223	-0.002223	97	0.002264	-0.002264	72	0.002825	-0.002825
						77	0.000873	-0.000873
						82	0.001205	-0.001205
						87	0.001538	-0.001538
						92	0.00176	-0.00176
						97	0.001983	-0.001983
						102	0.002278	-0.002278
						107	0.002745	-0.002745
						112	0.00269	-0.00269
						117	0.002783	-0.002783
						122	0.002218	-0.002218

表1：径向模式振型斜率分布。 提供了沿径向的模式振型计算斜率分布，同时给出原始斜率与修正后斜率，以说明修正过程。

补充文件 1：用于模拟平板动态响应和模态形状的 ANSYS 脚本。请点击此处下载该文件。

讨论

本文采用光杠杆法测定平板的振型，因为克拉尼图案只能显示振动平板的节线。为了确定平板的振型，需要预先获得光屏距离与光斑长度之间斜率的关系。然后通过定积分计算，可对克拉尼图案的振型进行定量测定。

通常，本方法的整个过程包括以下步骤：（1）进行受迫振动试验，以获得板的共振频率。（2）在共振频率附近进行受迫振动试验，并记录克拉德尼图形节点的坐标。这些数据用于校准实验测试所获得的绝对振型。（3）将激光光斑垂直投射到板的不同径向位置，并测量光屏上光斑的长度。该试验需在振动板与光屏之间不同距离下重复多次，以通过公式（2）获得振型斜率的线性回归值。（4）通过对原始实验数据进行后处理，利用公式（4）得到克拉德尼图形的实验振型。

需要指出的是，尽管目前的实验演示仅展示了轴对称克拉尼图案的测量，但该方法同样可以正向用于非轴对称克拉尼图案的测定。不仅可以使用圆形板，还可以采用其他形状，如三角形、矩形甚至不规则形状，以展示克拉尼图案的美感。此外，如果仔细选择测点密度、激光光源、测量工具以及积分计算方法，该方法的精度可达到所需水平。

材料

本文使用的材料清单

姓名	公司	目录编号	评论
亚克力板	Dongguan Jinzhu Lens Products Factory		三块厚度为1.0 mm、直径分别为150 mm、200 mm和250 mm的圆形镜面亚克力板。这些板材容易变形。
激光笔	Deli Group	2802	红光激光对观察者更友好。激光束越细越好。
光屏	北方钢化玻璃定制淘宝店		可在玻璃表面贴上多层磨砂贴膜，以实现磨砂玻璃的效果。
直尺	Deli Group	DL8015	长度为1 m，分度值为1 mm。
信号发生器	大洋科教淘宝店	TFG6920A	大学实验室中常见的型号即可使用。
振动器	大洋科教淘宝店		最大振幅为1.5 cm。功率需足够大，以使板振动时产生明显现象；否则需加装功率放大器。