使用光杠杆法测量克拉尼模式形状

摘要

提出了一种基于光杠杆原理测量弹性板上克拉尼模式形状的简单方法。

摘要

定量测定弹性板的克拉尼图案在物理科学和工程应用中均具有重要意义。本文提出了一种基于光学杠杆法测量振动板模态形状的方法。实验中采用了三种不同的中心谐波激励，对三个圆形亚克力板进行了测量。与传统方法不同，这种新方法仅使用一支普通激光笔和一块由磨砂玻璃制成的光屏。具体方法如下：激光笔将一束光垂直投射到振动板上，随后该光束被反射至远处的光屏上，在光屏上形成由反射光点移动轨迹构成的线段。由于视觉暂留效应，该移动的光点可被观察为一条明亮的直线。通过代数运算，可得到模态形状斜率、光斑线段长度以及振动板与光屏之间距离之间的关系。随后，结合适当的边界条件对斜率分布进行积分，即可确定模态形状。通过这种简单的方法，还可进一步获得克拉尼板的全场模态形状。

引言

克拉德尼模态形状在科学和工程应用中具有重要意义。克拉德尼图案是物理波的响应现象，可通过多种方法来展示这种波的图案。通过勾勒出节线来显示弹性板上不同振动模式是一种众所周知的方法。通常使用微小颗粒来呈现克拉德尼图案，因为这些颗粒会停留在振动振幅相对为零的节点处，而节点的位置随共振模式的不同而变化，从而形成各种各样的克拉德尼图案。

许多研究人员关注了各种克拉尼图案，但这些图案仅展示了振型的节线，而节线之间的振型（即振动振幅）并未呈现。Waller 研究了圆形¹、方形²、等腰直角三角形³、矩形⁴和椭圆形⁵板的自由振动，并展示了不同的克拉尼图案。Tuan 等人通过实验与理论方法重构了不同的克拉尼图案，并在理论建模中采用了非齐次亥姆霍兹方程^6,7。目前常用激光多普勒测振仪（LDV）或电子散斑干涉法（ESPI）对克拉尼图案的振型进行定量测量^8,9,10。....

方案

1. 实验设置与操作步骤

注意：按照图2所示设置实验系统。

1. 振动系统的准备
   1. 准备三块厚度为1.0 mm、直径分别为150 mm、200 mm和250 mm的圆形镜面亚克力板。在每块板的中心钻一个直径为3 mm的孔，并沿任意一条半径方向每隔5 mm标记一个黑点。
   2. 用螺栓将每块板固定在振动器的驱动杆中央位置。使用波形发生器以正弦波驱动振动器，默认设置即可满足共振实验的需求。
      注意：振动器的激励方向为水平方向，以便后续移动屏幕。
   3. 共振频率的获取
      1. 放置激光笔，使其激光束垂直照射到振动板上，并将光束反射至远处的光屏上。激光笔与板之间的距离为120 mm，与光屏之间的距离为500 mm。
         注意：光屏与振动板之间的距离越远，现象越明显。需指出的是，本方法可用于测量轴对称或非轴对称的振型。出于简化和方便考虑，本文仅演示该方法在确定三块圆形板轴对称振型中的应用。因此，我们只需沿任意径向测量振动振幅，即可重建板的二维振型。
      2. 沿垂直于激光笔长度的方向移动激光笔，使入射点扫描过板的直径，同时连续改变信号发生器的频率。快速扫描，直到在某一频率范围内观察到光斑沿直径方向显著拉长，而某些频率下光斑几乎无扩展。对于直径为150 mm、200 mm和250 mm的板，扫描的频率范围分....

结果

通过频率扫描测试确定了能够激发轴对称Chladni图样的激励频率。测试了三种直径分别为150 mm、200 mm和250 mm的圆形亚克力板，结果表明这三种板的一阶轴对称共振频率分别为346 Hz、214 Hz和150 Hz。结论表明，随着直径增大，板的刚度降低，变得更加柔韧，相应的共振频率也随之减小。不同直径亚克力板的Chladni图样如图3¹¹所示。

在相应的共振频率下，可测量并记录不同板在光屏上光斑的长度。通过公式(1)可获得振型斜率的回归值，其沿板A、B和C径向方向的分布见表1¹¹，这些值是通过测量特定激光点在不同距离D下的多个不同光斑长度L确定的。

采用 ANSYS 进行数值模拟，以验证当前的实验结果。APDL（ANSYS 参数化设计语言）的脚本代码作为补充文件 1

讨论

本文采用光杠杆法测定平板的振型，因为克拉尼图案只能显示振动平板的节线。为了确定平板的振型，需要预先获得光屏距离与光斑长度之间斜率的关系。然后通过定积分计算，可对克拉尼图案的振型进行定量测定。

通常，本方法的整个过程包括以下步骤：（1）进行受迫振动试验，以获得板的共振频率。（2）在共振频率附近进行受迫振动试验，并记录克拉德尼图形节点的坐标。这些数据用于校准实验测试所获得的绝对振型。（3）将激光光斑垂直投射到板的不同径向位置，并测量光屏上光斑的长度。该试验需在振动板与光屏之间不同距离下重复多次，以通过公式（2）获得振型斜率的线性回归值。（4）通过对原始实验数据进行后处理，利用公式（4）得到克拉德尼图形的实验振型。

需要指出的是，尽管目前的实验演示仅展示了轴对称克拉尼图案的测量，但该方法同样可以正向用于非轴对称克拉尼图案的测定。不仅可以使用圆形板，还可以采用其他形状，如三角形、矩形甚至不规则形状，以展示克拉尼图案的美感。此外，如果仔细选择测点密度、激光光源、测量工具以及积分计算方法，该方法的精度可达到所需水平。

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材料

本文使用的材料清单

姓名	公司	目录编号	评论
亚克力板	Dongguan Jinzhu Lens Products Factory		三块厚度为1.0 mm、直径分别为150 mm、200 mm和250 mm的圆形镜面亚克力板。这些板材容易变形。
激光笔	Deli Group	2802	红光激光对观察者更友好。激光束越细越好。
光屏	北方钢化玻璃定制淘宝店		可在玻璃表面贴上多层磨砂贴膜，以实现磨砂玻璃的效果。
直尺	Deli Group	DL8015	长度为1 m，分度值为1 mm。
信号发生器	大洋科教淘宝店	TFG6920A	大学实验室中常见的型号即可使用。
振动器	大洋科教淘宝店		最大振幅为1.5 cm。功率需足够大，以使板振动时产生明显现象；否则需加装功率放大器。