神经网络引导的量子变分算法外推技术

Summary

我们提出了一种神经网络驱动的零噪声外推方法，以提高噪声量子环境中VQE的精度。

Abstract

在嘈杂的中尺度量子（NISQ）时代，变分量子特征求解器（VQE）作为解决复杂量子挑战的有效算法应运而生。然而，量子器件中噪声的存在经常会降低VQE结果的准确性和可靠性。本文提出了一种创新方法，通过在VQE计算中使用基于神经网络的外推技术来解决这个问题。利用Qiskit框架，利用RY-RZ ansatz设计了参数化量子电路，并分析了它们在不同去极化噪声水平下的性能，包括位翻转误差、相位翻转误差和幅度阻尼误差。我们的研究涉及分析哈密顿量在不同噪声强度水平下的预期结果，目的是推断基态能 （GSE）。为了将观察到的噪声结果与理想的无噪声条件联系起来，使用错误概率及其相应的期望值训练前馈神经网络 （FFNN）。该模型在理想的无噪声情景下准确预测了VQE结果。模拟结果和真实量子硬件执行的比较揭示了噪声引起的不一致，凸显了这种基于神经网络的外推方法在纠正这些不一致方面的有效性。这种综合方法提高了 NISQ 设备上 VQE 计算的准确性，并凸显了将量子和经典方法相结合以应对量子噪声带来的威胁的巨大潜力。FFNN、卷积神经网络 （CNN） 和长短期记忆 （LSTM） 网络之间的结果比较表明，FFNN 预测结果的准确度更高，但时间更短。

Introduction

量子计算就像不同学科的混合体，融合了量子力学和计算机理论的思想。它可能会彻底改变我们处理信息的方式。它可以提供远远超出经典计算能力的计算能力¹。尽管量子计算前景广阔，但它也面临着重大障碍。量子系统很脆弱，很容易受到来自不同来源的噪声和错误的影响。这些干扰会极大地影响计算2,3,4,5,6的准确性。

变分量子特征求解器（VQE）是为利用近期量^{子器件的能力}而开发的最具潜力的算法之一7。VQE 是一种独特的方法，它将量子力学元素与经典优化方法相结合。其目标是查明给定哈密顿量的最低能态。这种量子和经典技术的结合使得 VQE 特别适合当前有噪声的中尺度量子 （NISQ） 器件的能力⁸。然而，尽管 VQE 等工具提供了潜力，但量子设备中仍然存在噪声这一持续存在的障碍。量子噪声源于量子系统与其周围环境之间的通信。这些相互作用会导致错误，从而扭曲结果，使其不可靠甚至完全不准确².量子器件会遇到各种类型的噪声，包括去极化噪声、相位阻尼和幅度阻尼。手头的任务是制定策略，既可以减少这种噪音的影响，也可以在事后纠正它。

在这项研究中，我们提出了一种基于神经网络的外推技术，以提高 VQE 在 NISQ 时代设备典型的噪声条件下的准确性。核心思想是根据在各种噪声水平下计算的期望值训练神经网络，然后将结果外推到零噪声极限。该方法有效地学习了噪声水平与测量结果之间的函数依赖性，从而可以预测没有噪声时的基态能量。我们专门探索前馈神经网络 （FFNN）、卷积神经网络 （CNN） 和长短期记忆 （LSTM） 模型的性能。据我们所知，这是第一项评估和比较多种神经网络架构的预测精度的研究，以估计 VQE 中的无噪声期望值。结果表明，FFNN在更短的预测时间内实现了卓越的准确性，非常适合在实际量子应用中减少误差。

与量子纠错 （QEC） 不同，量子纠错 （QEM） 提高了结果的准确性，而无需将量子态编码为纠缠态。QEM 不需要额外的资源，即使错误率相当高，也可以改进量子计算。因此，为了提高NISQ计算的性能，QEM技术具有很高的适用性和必不可少的7,9,10,11,12。对于减轻量子误差，经典机器学习模型、神经网络、强化学习、变分量子算法和混合模型做出了重大贡献。

外推 13,14,15、概率误差消除^14,15、量子子空间扩展 ^16,17 和对称性验证^18,19 是不同的可用 QEM 方法。Strikis 等人 ²⁰ 描述了一种利用 Clifford 电路进行训练的机器学习方法。在 Czarnik 等。^图21，使用Clifford电路利用数据回归。为了处理读出错误，一些研究说明了误差缓解技术^22,23。

变分量子算法使用经典优化技术来最大限度地减少误差。通过调整电路参数，可以找到最优解。VQE 非常适合 NISQ 设备，如经典计算和量子计算。Czarnik等人²¹ 引入了从量子解中消除误差的变分策略。Koczor 提出了一种用于优化量子态保真度的变分误差缓解技术²⁴。为了减少错误，可以使用混合经典量子模型。经典的 ML 技术对数据进行预处理，然后量子电路进行进一步处理。从McArdle的研究中，获得了一种混合方法，其中使用经典ML模型²⁵在变分量子算法中校正量子误差。因此，他们表明混合模型可以减轻量子误差。Czarnik 等人 ²⁶ 将经典 ML 与量子电路集成在一起。ML-QEM 使用各种机器学习模型进行基准测试——线性回归、随机森林、多层感知器和图神经网络，在不同的量子电路和噪声分布上，结果通过模拟和实验得到验证²⁷。

Protocol

所有实验均使用 Qiskit qasm_simulator进行经典模拟，并在 IBM 量子设备ibm_kyoto上进行，该设备在使用 Qiskit 的 least_busy（） 函数执行时被选为最不繁忙的后端;不涉及人类或动物受试者，因此不需要伦理批准。所有软件和硬件资源均按照机构准则使用。编码文件以 补充编码文件 1 和 补充编码文件 2 的形式提供。

设置
这些实验是在基于 Python 的量子计算和机器学习堆栈中实现的。使用开源量子框架（例如Qiskit）²⁸构建和模拟量子电路，并在标准机器学习库中实现神经网络。计算在配备现代 CPU 和 GPU 的工作站上运行。量子噪声模型和硬件访问由公开可用的 IBM Quantum 资源提供。

量子电路结构
RY-RZ ansatz 的硬件效率更高，实施起来更实用。为VQE准备了一个参数化的双量子比特RY-RZ安萨茨。这需要使用沿 Y 轴（RY 门）和 Z 轴（RZ 门）可调节的旋转门。RY 门的基本思想是绕 Y 轴旋转。RY 门的一般形式如下，如公式 1 所示：

(1)

类似地，RZ 门定义如下式 2：

(2)

每个量子比特从计算基态 0 开始，用狄拉克符号描述为 |0 状态，然后是围绕角度 θ 的 Y 轴旋转，然后围绕角度 θ 的 Z 轴旋转，然后实现连续量子比特之间 CNOT 门的积分以促进纠缠。 图 1 显示了 12 量子比特系统的 RY-RZ ansatz，其中所有 12 个量子比特都应用了相同的基本 ansatz 结构。ansatz 是每 2 个量子比特定义的，例如，每个量子比特经历 RY 和 RZ 旋转。在 12 量子比特系统中，所有 12 个量子比特都应用相同的基本 ansatz 结构，从而形成由 6 个 ansatz 电路组成的完整电路。

图 1：RY-RZ Ansatz。 该图说明了 ansatz 电路。ansatz 是按 2 个量子比特定义的，其中每个量子比特经历 RY 和 RZ 旋转。 请点击此处查看此图的大图。

电路在n个量子比特上与量子态 的状态变化，可以表示为公式3：

(3)

其中表示 张量乘积。

双量子比特系统的哈密顿量定义为公式 4

(4)

哪里：
n 表示系统中的量子比特数。
C_i 表示局部磁场系数。
σ_i^z 表示作用于量子比特 i 的 Pauli-Z 运算符。
J_ij 表示量子比特 I 和 j 之间的交互强度。

第一个总和表示涉及沿 Z 轴的局部磁场的项，第二个总和表示沿 Z 轴的量子比特-量子比特相互作用。该算子的特征值表示测量相关量子态时的潜在结果，与最低特征值相关的特征向量表示系统的基态。我们的目标是测量哈密顿量的基态。因此，我们不直接将哈密顿量实现为电路。相反，我们使用参数化的 RY-RZ ansatz 准备电路，并测量该电路上哈密顿量的期望值。

噪声模型模拟
在这项研究中，我们利用 Qiskit 的 KrausError 和 NoiseModel 类将这些噪声通道直接集成到门作²⁸ 中。噪声应用于状态向量，而无需手动将量子态转换为密度矩阵。有了具有误差概率λ的去极化噪声模型，我们将其实现到使用RY-RZ ansatz构建的量子电路上。当量子比特状态的密度矩阵 ρ 穿过去极化通道时，状态变换如公式 5 所示

(5)

概率 λ 的位翻转误差可以表示为方程 6 中的量子通道

(6)

概率λ的相位翻转误差可以表示为方程7中的量子通道

(7)

其中，ρ 是量子比特的密度矩阵。

幅度阻尼过程可以使用公式 8 和 9 中的克劳斯算子来描述

(8)

(9)

阻尼概率在哪里γ

神经网络训练
前馈神经网络（输入：λ，隐藏层：50 个 ReLU 神经元;输出：一个线性神经元）将错误概率映射到无噪声期望值 ₀。差异或误差是使用损失函数测量的。均方误差 （MSE） 损失函数用公式 10 表示

(10)

哪里
y_n 是第 n 个样本的真实值。
n 是网络对^{第 n 个} 样本的预测值。

该模型根据一系列错误概率及其相应的量子电路期望值进行训练。这使得神经网络能够捕获噪声水平和量子电路性能之间的复杂关系。MSE在各个时期的稳步下降证明了该模型的有效学习过程^29,30。CNN 由 2 个卷积层组成，分别有 32 个和 64 个滤波器，每个滤波器使用核大小为 3。在每个卷积层之后使用一个 ReLU 激活函数，然后使用一个最大池化层。输出被压平并穿过具有 64 个单元的致密层。LSTM 网络包括一个 50 个单元的 LSTM 层，然后是一个 64 个单元的全连接密集层和一个最终输出层。ReLU 激活用于密集层。使用 Adam 优化器（500 个 epoch 的学习率 ^10-3）。在训练过程中，提供噪声数据λ;收敛后，网络外推为 λ = 0，预测看不见的电路为 0。网络预测比原始噪声数据更接近理想仿真，验证了零噪声外推方法。

在量子硬件上执行
选择队列长度最短的可用双量子比特 IBM Quantum 后端。对于每个参数集 θ，准备 RY-RZ 电路并在两个量子比特上附加测量值，转译到本机门并提交具有 8192 个镜头的作业，并检索量子态 |00、|01、|10、|11 的计数，并计算

_装置=P₀₀+P_{11-P 01-P 10}

其中 Pxy 是结果的概率 |xy。

由于实际硬件噪声，设备结果偏离理想值;然而，零噪声外推后的神经网络预测与理想模拟几乎一致，证实了该方法的有效性。

RRIDs。
主要软件资源包括 Qiskit 套件 （RRID：SCR_021282） 和 Python 语言 （RRID： SCR_008394）。手稿附有完整的 材料表 。

Results

噪声下的量子模拟
我们将噪声概率从 0.01 变为 0.05，并测量期望值 。随着噪声的增加，观察到的期望值偏离其理想（无噪声）结果，反映了退相干和误差的有害影响。

神经网络预测
前馈神经网络 （FFNN） 经过训练，可以在给定噪声输入的情况下预测理想的、无噪声的期望值。培训期间：
输入：每个 θ 和错误概率 λ 的测量（噪声）期望值。
输出：预测的无噪声期望值。
损失：MSE。
MSE随纪元的变化如 图2所示。

图 2：FF...

Discussion

为了找出此处描述的神经网络模型的有效性，我们首先评估了其根据嘈杂的量子电路结果获得无噪声性能的能力。使用Adam优化器，MSE用作损失函数。MSE值的稳步下降表明该模型成功地捕获了错误概率与量子电路相关结果之间的关系。

对真实量子器件结果、仿真结果和神经网络模型预测进行比较。在理想条件下的模拟中，我们推导出了 ansatz 的各种 theta 值的期望值范围。最小值表示理想的基态能量，即 E_理想。

当提供零的错误概率（表示无噪声场景）时，神经网络预测的值表示为 E_预测。不同噪声因子的不同期望值的比较如 图7所示。它说明了使用神经网络模型进行零噪声外推 （ZNE） 的过程。标记为“嘈杂数据”的红点表示从不同噪声水平下的量子电路执行中获得的期望值（或结果值）。标记为“模型预测”的蓝色曲线是通过在噪声数据点上训练神经网络生成的。该模型学习噪声水平与测量结果之间的功能关系。然后使用它来预测零噪声下的结果。

Materials

List of materials used in this article

Name	Company	Catalog Number	Comments
Qiskit =0.39.0	IBM 量子	https://www.ibm.com/quantum/qiskit	用于电路设计和仿真的主要量子计算框架 （（RRID：SCR_021282）
Python 3.10 中文文档	Python 软件基础	https://www.python.org/	用于实现算法和数据分析的编程语言（RRID：SCR_008394）
量子平台	IBM 量子	https://quantum.cloud.ibm.com/computers	量子计算框架 （RRID：SCR_021282）