神经网络引导的量子变分算法外推技术

摘要

我们提出一种由神经网络驱动的零噪声外推方法，以提高变分量子本征求解器（VQE）在含噪声量子环境中的计算精度。

摘要

在含噪声中等规模量子（NISQ）时代，变分量子本征求解器（VQE）作为一种有效算法，可用于解决复杂的量子问题。然而，量子设备中的噪声常常会降低VQE结果的准确性和可靠性。本文提出了一种创新方法，通过在VQE计算中引入基于神经网络的外推技术来应对这一问题。利用Qiskit框架，我们采用RY-RZ试探电路设计了参数化量子电路，并在不同强度的去极化噪声以及比特翻转错误、相位翻转错误和振幅阻尼错误条件下分析了其性能。研究通过分析哈密顿量在不同噪声强度下的期望值，旨在推断基态能量（GSE）。为了将观测到的含噪结果与理想的无噪声情况关联起来，我们使用误差概率及其对应的期望值训练了一个前馈神经网络（FFNN）。该模型能够准确预测理想无噪声情形下的VQE结果。对仿真结果与真实量子硬件执行结果的比较揭示了由噪声引起的不一致性，凸显了这种基于神经网络的外推方法在纠正此类误差方面的有效性。这一综合方法提高了NISQ设备上VQE计算的准确性，同时突显了融合量子与经典方法以应对量子噪声挑战的重要潜力。对前馈神经网络（FFNN）、卷积神经网络（CNN）和长短期记忆网络（LSTM）的结果比较表明，FFNN在更短时间内实现了更高的预测精度。

引言

量子计算类似于不同学科的融合，结合了量子力学和计算机理论的思想。它有可能彻底改变我们处理信息的方式，提供远超经典计算能力的计算能力¹。尽管量子计算前景广阔，但仍面临重大挑战。量子系统十分脆弱，容易受到来自各种来源的噪声和误差影响。这些干扰会显著影响计算的准确性^2,3,4,5,6。

变分量子本征求解器（Variational Quantum Eigensolver, VQE）是目前最有潜力的算法之一，旨在利用近期量子设备的能力⁷。VQE 是一种独特的方法，将量子力学的元素与经典优化方法相结合，其目标是确定给定哈密顿量的最低能量态。这种量子与经典技术的结合，使 VQE 特别适用于当前含噪声中等规模量子（noisy intermediate scale quantum, NISQ）设备的能力⁸。然而，尽管 VQE 等工具展现出巨大潜力，量子设备中噪声的存在仍然是一个持续存在的障碍。量子噪声源于量子系统与其周围环境之间的相互作用，这些相互作用会导致错误，从而扭曲结果，使其不可靠甚至完全不准确²。量子设备会遇到多种类型的噪声，包括去极化噪声、相位阻尼和幅度阻尼。当前的任务是开发能够减轻此类噪声影响或在事后予以纠正的策略。

本研究提出一种基于神经网络的外推技术，以提高变分量子本征求解器（VQE）在典型含噪声中等规模量子（NISQ）设备环境下的计算精度。该方法的核心思想是利用在不同噪声水平下计算得到的期望值训练神经网络，进而将结果外推至零噪声极限。该方法能够有效学习噪声水平与测量结果之间的函数关系，从而预测无噪声条件下的基态能量。本文特别探讨了前馈神经网络（FFNN）、卷积神经网络（CNN）以及长短期记忆（LSTM）模型的性能表现。据我们所知，这是首次评估并比较多种神经网络架构在VQE中估计无噪声期望值时预测精度的研究。结果表明，FFNN在更低预测时间下实现了更优的准确性，因而更适用于实际量子应用中的误差缓解。

与量子纠错（QEC）不同，量子误差缓解（QEM）通过不将量子态编码为纠缠态的方式来提高结果的准确性。QEM 不需要额外资源，即使误差率较高，也能改善量子计算。因此，为提升含噪声中等规模量子（NISQ）计算的性能，QEM 技术具有高度适用性且至关重要^7,9,10,11,12。在缓解量子误差方面，经典机器学习模型、神经网络、强化学习、变分量子算法以及混合模型均发挥了重要作用。

外推法^13,14,15、概率性误差消除^14,15、量子子空间展开^16,17, 以及对称性验证^18,19 是几种现有的量子误差缓解（QEM）方法。Strikis 等人²⁰ 描述了一种利用 Clifford 电路进行训练的机器学习方法。在 Czarnik 等人²¹ 的研究中，使用 Clifford 电路进行数据回归。针对读出误差的处理，一些研究展示了误差缓解技术^22,23。

变分量子算法采用经典优化技术来最小化误差。通过调整电路参数，可以找到最优解。变分量子本征求解器（VQE）适用于含噪声中等规模量子（NISQ）设备，因其结合了经典计算与量子计算。Czarnik 等人²¹提出了用于消除量子解中误差的变分策略。Koczor 提出了一种变分误差缓解技术 ，用于优化量子态的保真度²⁴。为缓解误差，可采用经典-量子混合模型。经典机器学习（ML）技术首先对数据进行预处理，随后由量子电路进行进一步处理。根据 McArdle 的研究，获得了一种混合方法，即在变分量子算法中使用经典机器学习模型来校正量子误差²⁵。因此，他们证明了混合模型能够缓解量子误差。Czarnik 等人²⁶将经典机器学习与量子电路相结合。ML-QEM 使用多种机器学习模型进行了基准测试——包括线性回归、随机森林、多层感知机和图神经网络，在多种量子电路和噪声分布下进行验证，并通过仿真与实验确认了结果²⁷。

方案

所有实验均使用 Qiskit qasm_simulator 进行经典模拟，并在 IBM 量子设备 ibm_kyoto 上执行，该设备通过 Qiskit 的 least_busy() 函数在执行时选择为当时可用的最空闲后端；实验未涉及人类或动物受试者，因此无需伦理审批。所有软件和硬件资源均按照机构指南使用。编码文件作为补充编码文件 1和补充编码文件 2提供。

实验设置
实验基于 Python 的量子计算与机器学习技术栈实现。量子电路使用开源量子计算框架（例如 Qiskit）²⁸ 构建并进行模拟，神经网络则在标准的机器学习库中实现。计算任务在配备现代 CPU 和 GPU 的工作站上运行。量子噪声模型及硬件访问由公开可用的 IBM Quantum 资源提供。

量子电路构建
RY-RZ 试探电路（ansatz）在硬件上更高效且更易于实现。为变分量子本征求解（VQE）构建了一个参数化的双量子比特 RY-RZ 试探电路。该电路使用沿 Y 轴（RY 门）和 Z 轴（RZ 门）可调节的旋转门。RY 门的基本思想是围绕 Y 轴进行旋转。RY 门的一般形式如公式 1 所示：

     (1)

类似地，RZ 门的定义如公式 2 所示：

      (2)

每个量子比特从计算基态0开始，用狄拉克符号表示为 |0 态，随后进行角度为θ的Y轴旋转，以及角度为θ的Z轴旋转，接着在相邻量子比特之间引入CNOT门以实现纠缠。图1展示了12量子比特系统的RY-RZ变分试算电路（ansatz），其中相同的基本变分结构被应用于全部12个量子比特。该变分结构以每两个量子比特为单位定义，例如，每个量子比特都经历一次RY和RZ旋转。在12量子比特系统中，这一基本变分结构在所有12个量子比特上重复应用，最终构成一个由6个变分电路组成的完整量子电路。

图 1：RY-RZ 试探电路（Ansatz）。该图展示了试探电路结构。该试探电路以每 2 个量子比特为一组进行定义，其中每个量子比特依次经历 RY 和 RZ 旋转操作。请点击此处查看该图的放大版本。

n个量子比特的电路在量子态下的状态变化，可用方程3表示：

    (3)

其中 表示张量积。

双量子比特系统的哈密顿量定义为公式4

      (4)

其中：
n 表示系统的量子比特数量。
C_i 表示局部磁场系数。
σ_i^z 表示作用在第 i 个量子比特上的泡利-Z 算符。
J_ij 表示量子比特 i 与 j 之间的相互作用强度。

第一个求和项表示沿Z轴的局域磁场项，第二个求和项表示沿Z轴的量子比特间相互作用。该算符的本征值代表对相关量子态进行测量时可能得到的结果，而对应于最低本征值的本征矢量表示系统的基态。我们的目标是测量哈密顿量的基态。因此，我们并不直接将哈密顿量实现为量子电路，而是采用参数化的RY-RZ试探电路，测量该电路上哈密顿量的期望值。

噪声模型模拟
在本研究中，我们利用 Qiskit 的 KrausError 和 NoiseModel 类将这些噪声通道直接集成到量子门操作中²⁸。该方法无需手动将量子态转换为密度矩阵，即可将噪声应用于态矢量。对于具有错误概率 λ 的去极化噪声模型，我们将其应用于基于 RY-RZ 试探电路构建的量子电路。当一个量子比特态的密度矩阵 ρ 经过去极化通道时，其状态按公式 5 发生变换

    (5)

概率为 λ 的比特翻转错误可用公式 6 中的量子信道表示

    (6)

发生概率为 λ 的相位翻转错误可用公式 7 中的量子信道表示

    (7)

其中，ρ 是量子比特的密度矩阵。

振幅阻尼过程可以使用公式8和9中的Kraus算符来描述

    (8)

    (9)

其中 γ 为阻尼概率

神经网络训练
前馈神经网络（输入：λ，隐藏层：50 个 ReLU 神经元；输出：一个线性神经元）将误差概率映射到无噪声期望 ₀。该差异即误差，通过损失函数进行度量。均方误差（MSE）损失函数如公式 10 所示

    (10)

其中，
y_n 是第n个样本的真实值。
n 是网络对第 n 个样本的预测值^th 样品

该模型在一系列错误概率及其对应的量子电路期望值上进行训练，从而使神经网络能够捕捉噪声水平与量子电路性能之间的复杂关系。均方误差（MSE）在训练轮次中的持续下降表明了模型有效的学习过程^29,30。卷积神经网络（CNN）包含两个卷积层，分别具有32和64个滤波器，每个卷积层的卷积核大小为3。每个卷积层后使用ReLU激活函数，并接一个最大池化层。输出结果被展平后输入一个包含64个单元的全连接密集层。LSTM网络包含一个具有50个单元的LSTM层，随后是一个包含64个单元的全连接密集层以及一个最终输出层，密集层中使用ReLU激活函数。优化器采用Adam（学习率10^-3，共训练500个轮次）。在训练过程中，输入的是含噪声的数据 λ 和 ；在模型收敛后，网络外推至 λ = 0，从而对未见过的电路预测其 0 值。网络预测结果比原始含噪声数据更接近理想模拟结果，验证了零噪声外推方法的有效性。

在量子硬件上执行
选择一个可用的两量子比特 IBM Quantum 后端，且其队列长度最短。对于每个参数集 θ，构建 RY-RZ 电路，并在两个量子比特上附加测量操作，将其转换为原生门，提交包含 8192 次采样的任务，并获取量子态 |00、|01、|10、|11 的计数结果，并进行计算

_device=P₀₀+P₁₁-P₀₁-P₁₀

其中 Pxy 是结果 |xy 的概率。

由于实际硬件噪声的存在，设备结果会偏离理想值；然而，经过零噪声外推后的神经网络预测结果几乎与理想模拟结果一致，证实了该方法的有效性。

RRID。
关键软件资源包括 Qiskit 套件（RRID:SCR_021282）和 Python 语言（RRID: SCR_008394）。随文附有完整的材料表。

结果

含噪声的量子模拟
我们将噪声概率从 0.01 变化到 0.05，并测量期望值 。随着噪声增加，观测到的期望值偏离其理想（无噪声）结果，反映出退相干和误差的不利影响。

神经网络预测
训练一个前馈神经网络（FFNN），用于根据含噪声的输入预测理想的、无噪声的期望值。训练过程中：
输入：针对每个 θ 和错误概率 λ 测得的（含噪声的）期望值。
输出：预测的无噪声期望值。
损失函数：均方误差（MSE）。
MSE 随训练轮次的变化如图2所示。

讨论

为了评估本文所述神经网络模型的有效性，我们首先分析了该模型根据含噪声的量子电路输出结果获得无噪声性能的能力。优化器采用Adam，损失函数使用均方误差（MSE）。MSE值的持续下降表明，该模型成功捕捉到了错误概率与量子电路相应输出之间的关系。

比较在真实量子设备结果、模拟结果以及神经网络模型预测之间进行。在理想条件下的模拟中，我们推导出针对不同theta值的ansatz期望值谱。最小值表示理想的基态能量，记为E_ideal。

当给定零误差概率（表示无噪声场景）时，神经网络预测出一个记为 E_predicted 的值。不同噪声因子下各期望值的比较如图7所示。该图说明了使用神经网络模型进行零噪声外推（ZNE）的过程。标记为“Noisy Data”的红色数据点代表从不同噪声水平下量子电路执行中获得的期望值（或结果值）。标记为“Model Prediction”的蓝色曲线是通过对噪声数据点训练神经网络而生成的。该模型学习了噪声水平与测量结...

材料

本文使用的材料清单

姓名	公司	目录编号	评论
Qiskit =0.39.0	IBM Quantum	https://www.ibm.com/quantum/qiskit	用于电路设计和仿真的主要量子计算框架（(RRID:SCR_021282)）
Python 3.10	Python 软件基金会	https://www.python.org/	用于实现算法和数据分析的编程语言（RRID: SCR_008394）
量子计算平台	IBM Quantum	https://quantum.cloud.ibm.com/computers	量子计算框架（RRID:SCR_021282）