旋转效应对光学激发下纤维增强各向异性半导体半空间中磁-光-热弹性波传播的影响

Zaki Mrzog Alaofi; M. Yusuf; A. El-Dali

doi:10.3791/72171

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研究文章

旋转效应对光学激发下纤维增强各向异性半导体半空间中磁-光-热弹性波传播的影响

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DOI：

10.3791/72171

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2026年8月7日

Zaki Mrzog Alaofi¹ , M. Yusuf² , A. El-Dali²

¹Department of Mathematics, Applied College at Mahail Aseer, King Khalid University, ²Department of Mathematics, Faculty of Science, Capital University (formerly Helwan University)

本文内容

摘要

我们提出了一种解析模型，用于研究在光激发下各向异性纤维增强半导体中旋转磁光热弹性波的传播。该方法可用于分析先进半导体材料中的温度、载流子浓度、位移和应力分布。

摘要

本研究探讨了在光学激发和外加磁场作用下，各向异性纤维增强半导体半空间的耦合旋转磁光热弹性行为。在统一的多物理场框架内，建立了包含热、弹性、载流子密度、电磁及旋转效应的控制方程。采用正则模态法将耦合的偏微分方程组转换为常微分方程组，并进一步重写为一阶矩阵微分系统。随后，基于特征值方法构建了该耦合问题的解析解。通过数值方法求解相应的特征值问题、边界条件系统以及各物理场量。通过数值计算结果，分析了温度、载流子密度、位移分量和应力分布，以考察旋转参数和磁场强度对耦合物理场的影响。结果表明，旋转效应与电磁相互作用在改变各向异性半导体介质中波的传播特性、衰减行为及场分布方面具有重要作用。数值计算以硅基半导体材料为例进行。

引言

由于光热弹性效应能够描述半导体材料在激光辐照和光热激发下热、力学、光学以及载流子密度场之间的耦合相互作用，该领域已成为研究热点。这些耦合现象在现代光电子器件、半导体技术、激光加工系统及微电子应用中发挥着重要作用。Saeed 等人¹研究了具有温度依赖性材料特性的半导体固体中的波传播问题，而 Abbas 等人²则分析了含有圆柱形空腔且热导率可变的半导体中光热相互作用。随后，Ihtisham Ullah 等人³探讨了可变热导率和激光脉冲对半导体介质中反射弹性波的影响。此外，Yadav⁴在双温度多相位滞后热弹性框架下研究了扩散型半导体中的磁光热等离子体波传播。最近，Lute 等人⁵和 Lute 等人⁶提出了先进的光热弹性半导体模型，该模型包含了光热生热、记忆效应和非局部相互作用；而 Alaofi 与 El-Dali⁷则提出了一种用于半导体材料的多物理场光热湿弹性耦合模型。此外，已有多个基于相位滞后理论和非局部表述的广义光热弹性模型被报道，以改进对半导体中热与载流子输运耦合现象的描述⁸^,⁹^,¹⁰^,¹¹。

对轻质且高性能工程结构日益增长的需求，推动了关于各向异性及纤维增强材料的广泛研究。由于纤维增强复合材料具有优异的力学性能和增强的耐热性，已被广泛应用于航空航天、土木工程和电子工程领域。Khan 等人¹²建立了一种适用于温度依赖性纤维增强复合材料的统一微极热弹性模型，并证明了微结构参数对波传播特性具有显著影响。Pitarresi 等人¹³研究了纤维增强塑料的热弹性响应，强调了材料非均质性对热应力分布的作用。Escalante-Solís 等人¹⁴考察了纤维曲率对增强复合材料微观力学行为的影响，而 Abo-Dahab 等人¹⁵研究了纤维增强热弹性介质中的波反射现象。最近，Purkait 和 Kanoria¹⁶分析了在脉冲激光激励下旋转的纤维增强磁热弹性介质，而 Akai 等人¹⁷与 Quinlan 等人¹⁸则研究了不同载荷条件下纤维增强复合结构中的热弹性响应。这些研究证实，增强特性与各向异性显著影响热传导、应力集中以及波传播行为。然而，现有大多数研究集中于热弹性复合材料，未能同时考虑光-热弹性半导体耦合效应与载流子输运机制。

由于磁场与热弹性半导体介质之间的相互作用在电磁器件和导电材料中的重要性，这一领域也受到了广泛关注。Yadav¹⁹研究了具有扩散效应的旋转正交各向异性磁热弹性半空间中的波反射问题，而Selvamani等人²⁰则研究了非局部分数阶纳米梁中的磁弹性波传播。Abouelregal等人²¹分析了具有记忆依赖效应的磁化多孔结构中耦合的激光热磁激励，而Chandel等人²²提出了基于Moore-Gibson-Thompson热传导理论的非局部磁热弹性框架。在半导体领域，Abouelregal²³建立了一个修正的分数阶光热弹性模型，用于研究受磁场作用的旋转半导体半空间，而Sur²⁴研究了具有遗传特性的介质中的磁光热弹性相互作用。最近，Saidi等人²⁵和Rashid等人²⁶分析了广义旋转半导体介质中的磁光热弹性扰动，并证明了磁场强度对耦合波传播具有显著影响。类似的结果也在先进的光热粘弹性及Moore-Gibson-Thompson半导体模型中得到验证²⁷^,²⁸^,²⁹。

旋转效应是广义热弹性理论的另一个重要方面，因为旋转会引入额外的科里奥利力和离心力，从而显著改变波的传播特性。Khan 等人³⁰对在激光诱导热载荷作用下旋转热弹性固体中的波行为进行了敏感性分析。Yadav³¹研究了具有扩散效应的旋转正交各向异性介质中的磁热弹性波，而 Abouelregal 等人³²则分析了含球形空腔的旋转应力介质中分数阶双相位滞后热弹性响应。此外，Khan 等人³³基于非局部分数阶三相位滞后模型，研究了旋转多孔热弹性半空间中的波传播。Abo-Dahab 等人³⁴也考察了旋转对半导体热弹性纳米结构的影响，结果表明旋转可显著改变热场和力学场的分布。尽管已有上述研究，但在统一的半导体框架内，旋转效应与各向异性、纤维增强、光激发、载流子输运以及磁场相互作用的耦合研究仍极为罕见。

尽管上述研究已取得显著进展，但大多数现有研究主要集中在光-热弹、磁、旋转或增强效应的特定组合上。在半导体介质中，能够同时包含光激发、载流子输运动力学、各向异性、纤维增强、磁场相互作用以及旋转影响的综合性解析模型仍基本处于缺失状态。因此，仍亟需建立一种统一的理论框架，以准确描述这些物理机制之间的相互耦合关系，并阐明它们对波传播的综合影响。

基于上述观察，本研究建立了一个二维解析模型，用于研究在光学激发作用下，旋转的、纤维增强的各向异性半导体半空间中磁-光-热弹波的传播行为。控制方程在一个统一的框架内建立，该框架同时包含热、力学、载流子密度和电磁场，并采用正则模态法结合特征值方法进行求解。值得注意的是，Alaofi 等人³⁵最近利用特征值方法研究了各向异性纤维增强硅材料的耦合热-光弹响应。然而，他们的模型未考虑磁场效应和旋转效应。本研究的创新之处在于，在原有方法的基础上，进一步在单一的磁-光-热弹耦合框架内同时引入了磁相互作用、旋转效应、载流子输运动力学、各向异性增强以及光学激发。因此，所提出的模型能够更全面地描述耦合波传播现象，并可详细评估磁场强度与旋转对相关物理场的综合影响。与 Alaofi 等人³⁵仅研究无磁场和旋转效应的各向异性纤维增强半导体的热-光弹响应不同，本研究的模型在一个统一的框架内整合了旋转、磁场、光学激发、载流子输运和各向异性增强的协同作用。此外，特征值方法的应用也被拓展至这一更为普遍的耦合系统，从而能够分析早期模型中未涉及的多种物理效应的耦合作用。进一步地，本研究的一个显著特点是采用了特征值方法。尽管包括 Alaofi 等人³⁵在内的许多相关研究依赖于消元法，在求解前对控制方程组进行降维处理，但本研究的模型构建与求解均基于矩阵形式的特征值框架。该方法被应用于一个包含旋转、磁场、光学激发、载流子输运和纤维增强的更广泛耦合系统，从而拓展了已有模型的应用范围。

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方案

本研究完全基于解析建模、符号计算和数值模拟，以研究各向异性半导体介质中耦合的旋转磁光热弹性相互作用。该研究未涉及人类受试者、动物实验、临床数据或生物样本，因此无需伦理审批和知情同意。

旋转纤维增强各向异性半导体半空间中磁光热弹问题的数学表述

本研究探讨了在光激发和外加磁场作用下，一个二维旋转的纤维增强各向异性半导体半空间。该介质占据半无限区域 x ≥ 0，其中 x = 0 处的边界为暴露表面，承受外部光学载荷。坐标系的选择使得 x 轴指向介质内部，而 y 轴沿表面方向，用于描述结构的面内行为。外加磁场和角速度矢量均沿 z 轴方向。假设半导体介质是均匀且线弹性材料，各向异性由沿 x 方向排列的嵌入增强纤维引入。边界处的光吸收产生局部加热和过剩载流子，导致介质内部热、力学与载流子之间的耦合作用。此外，磁场引入电磁耦合效应，而旋转运动则带来惯性效应，显著影响热弹性波的传播及整体物理响应。因此，在小变形假设下，介质的物理状态由温度场 T(x, y, t)(K)、载流子浓度 N(x, y, t)(m^-3) 以及位移分量 u(x, y,t)(m) 和 v(x,y,t)(m) 表征。图1 展示了问题的几何构型，包括坐标系、光激发、磁场、旋转效应以及纤维取向。本构模型适用于在小变形范围内运行且符合线性热弹性理论框架的均匀各向异性纤维增强半导体介质。模型假设纤维取向固定，且介质中材料参数恒定。因此，当前研究未考虑非线性材料行为、大变形、材料损伤以及材料参数的空间变化。因此，所提出的模型适用于响应保持在线性范围内的中等载荷条件。在本研究中，光激发通过给定表面温度和光生载流子浓度的边界条件进行建模。激光与物质相互作用的详细过程，包括光吸收、穿透深度和强度分布，并未被显式处理。相反，其综合效应由边界幅值 θ₀ 和 N₀ 表示，这两个参数表征入射光场引起的热激发和载流子激发。

半导体装置中的光激发；示意图显示旋转效应和施加磁场。
图1：受光激发和外加磁场作用的旋转各向异性纤维增强半导体半空间的示意图。该图展示了问题的物理构型，包括坐标系、光激发、施加的磁场、纤维取向以及本研究模型中考虑的旋转效应。请点击此处查看此图的放大版本。

纤维增强各向异性热弹性半导体介质中应力张量的本构关系可表示为如下广义形式¹²^,¹⁵^,¹⁶。

材料力学中静力平衡公式 σij=Cijklekl−βijT−ηijN 的示意图。 (1)

其中，σ_ij 表示应力张量分量，C_ijkl 为弹性刚度系数，e_kl 表示应变张量，T 为相对于参考温度 T₀ 的温度增量，N 表示过剩载流子密度。张量 β_ij 和 η_ij 分别对应热弹性耦合系数和载流子耦合系数。因此，包含纤维增强显式影响的本构关系可表示为¹²^,¹⁵：

静力平衡公式；σij=λεkkδij+2μeij，数学方程；物理分析。 (2)

在此配方中， λ 和 μ_T 是拉梅弹性常数，而 μ_L 表示沿纤维方向的纵向剪切模量。参数 α 和 β 描述嵌入纤维相关的增强效应。数量 δ_ij 是克罗内克δ符号，且 a_i 是定义纤维取向的单位向量的分量。在当前模型中，增强纤维沿某一方向排列 x 方向，使得 a = (1,0)。涉及的项包括 β_ijθ 和 η_ijN 分别表示热与载流子耦合效应。对于当前的二维构型，控制应力分量简化为以下形式¹²^,¹⁵:

含导数的应力分析方程 σ_xx；力学平衡概念。 . (3)

应力方程，σyy，偏导数，热系数和力学系数示意图。 . (4)

剪切应力公式，σxy=A14(∂u/∂y+∂v/∂x)，弹性方程，数学表达式。 . (5)

此处，波动方程公式 u(x,y,t)，表示数学物理中的动力学系统。和速度函数 v(x,y,t)，数学方程，矢量场分析。分别表示沿 x 和 y 方向的位移分量，而 A_ij 为各向异性纤维增强介质的有效弹性系数。热弹性与载流子耦合系数定义如下

静力学平衡方程 β11，力学应力分析公式，与材料科学相关。，

静力平衡公式 β22=(2λ+α)α11+(λ+2μT)α22。应力分析的物理方程。，

静力平衡方程；数学公式；适用于物理与工程分析。，

静力平衡公式 η22，弹性考虑，数学方程分析。 .

在上述关系中，α_ij 表示热膨胀系数，而 ξ_ij 表示与半导体介质相关的载流子膨胀系数。纤维增强各向异性介质的有效弹性系数由以下公式给出

力学平衡方程，A11=λ+2μT+2α+β+4(μL-μT)，稳定性分析方程。 , 静力平衡方程，A₁₂=λ+α，符号，适用于物理图示，用于教学。 , 静力平衡，公式：A13=λ+2μT，用于说明材料应力分析。 , 静力平衡方程 A₁₄=μₗ，用于物理问题求解，强调力的平衡。。

这些系数表征了增强型半导体材料的各向异性弹性响应，并描述了纤维取向如何影响耦合的热弹行为。为了在当前的磁-光-热-弹耦合模型中考虑电磁相互作用的影响，假设施加一个沿 z 方向的均匀磁场，该方向垂直于变形的 x - y 平面。因此，磁场矢量表示为²³^,²⁵，磁場矢量方程，圖示，靜力平衡概念，矢量物理學。，其中 H₀ 表示恒定的磁场强度。由于当前模型仅限于二维变形，介质的位移场取为 $矢量場方程 $ \vec{u} = (u(x,y,t), v(x,y,t), 0) $，流體動力學分析。$ ，其中波動方程公式 u(x,y,t)，用於數學物理中的動態系統。和速度函數 v(x,y,t)，數學方程，矢量場分析。分别表示沿 x 和 y 方向的位移分量。

在小变形假设以及导电半导体介质缓慢运动的条件下，粒子速度与施加的磁场之间的相互作用会产生感应电场。

根据运动导电介质的麦克斯韦电磁关系，感应电场矢量可表示为¹⁹^,²³

电磁力方程，E=-μ₀(uₜ×H)，矢量表示法，物理学，动态场描述。 .　　(6)

其中，μ₀ 表示磁导率，流体动力学，矢量场示意图；展示具有时间分量 t 的速度场 u。为粒子速度矢量。将和磁场矢量公式，符号，教学方程，物理学学习，电磁学概念。的表达式代入上述关系式，可得

电磁场方程、矢量微积分矩阵公式、静力平衡物理概念 . (7)

产生

电场方程，静电平衡概念，公式：E=(-μ₀H₀vₜ,μ₀H₀uₜ,0) . (8)

对感应电场求时间导数，我们得到

电磁场方程，∂E/∂t 公式，物理学概念的符号表示。 . (9)

由于半导体介质形变所产生的磁扰动矢量定义为²³˒²⁵

矢量方程，h=(0,0,-H0(ux+vy))，物理概念，简洁形式。 . (10)

上述表达式自动满足磁扰动场的麦克斯韦散度条件，即

无散度矢量场，∇·h=0，用于电磁学研究的方程。 . (11)

为了确定电流密度，首先计算磁扰动矢量的旋度。以行列式形式表示，旋度算子可写为²³

旋度运算向量方程；公式；数学图示；向量微积分，偏导数。 . (12)

展开行列式可得

用于矢量场分析的旋度算子方程 ∇×h，数学公式表示。。（13）

然后根据麦克斯韦电磁方程得到电流密度矢量²³

电磁理论；方程：J=∇×h−ε₀(∂E/∂t)；物理学中的矢量微积分。 . (14)

其中ε₀表示介质的电容率。

利用洛伦兹力关系式确定作用在半导体介质上的电磁体动力²³

磁力方程，矢量场示意图，涉及 F、J、H；物理学概念，叉乘。 . (15)

矢量积矢量 J 和 H 的叉积；方程；矢量微积分；电磁理论。可以行列式形式表示为

叉积方程，磁场相互作用，矢量矩阵，H场计算。 . (16)

将前述表达式代入公式（15）后，电磁体力矢量的各个分量变为

磁弹性波动方程示意图，显示含磁场 H 项的力方程 Fx . (17)

电磁力方程公式 Fy，使用常数 μ0、ε0 描述波的传播。。（18）

这些关系明确表明，外加磁场通过类似于刚度的电磁项以及与电磁场理论方程，ε₀μ₀²H₀²，静态平衡分析，公式。成正比的修正惯性项，向控制方程引入了额外的耦合机制。因此，磁场显著影响热弹性波的传播特性以及纤维增强各向异性半导体介质的整体动力学行为。除了电磁效应外，当前的理论框架还引入了旋转的影响，以描述在旋转参考系中观察时该介质的动力学响应。假设纤维增强半导体介质进行均匀的刚体旋转，其恒定角速度矢量由³³ 矢量表示方程，角动量Ω以分量形式表示。给出，其中电阻电路图中的欧姆符号（Ω），表示电阻概念。表示绕z轴的恒定角速度。由于旋转轴垂直于x - y平面，当在旋转坐标系中建立运动方程时，由于旋转参考系为非惯性系，会产生额外的惯性加速度。这些加速度主要包括科里奥利加速度和离心加速度。科里奥利加速度与质点速度场相关，其表达式为³¹˒³³

向量叉积方程示意图；使用 ω 和 u,t 向量进行旋转运动分析。 . (19)

代入矢量符号；在物理方程中表示角速度。和流体动力学，矢量场示意图；表示具有时间分量 t 的速度场 u。的表达式后，我们得到

矢量叉乘公式，矩阵表示，矢量分析，物理方程。 . (20)

因此，科里奥利加速度变为

叉积方程；物理学中的矢量分析；说明旋转运动概念的公式。 . (21)

离心加速度直接取决于位移场本身，其表达式为³¹^,³⁵

矢量代数公式：旋转动力学方程中的叉积示意图。 . (22)

首先，计算矢量积矢量叉积 (Ω × u) 方程，用于物理和工程计算。，结果为

角速度叉乘；矢量方程，矩阵形式；物理学，矢量微积分。 . (23)

然后，将所得结果代入离心加速度关系式可得

矢量叉乘公式；数学方程；静力学平衡分析。（24）

因此，控制方程中出现的总旋转贡献可表示为

动态流体力学方程，2(Ω×uₜ)+Ω×(Ω×u)，矢量微积分。 . (25)

因此，旋转加速度分量在 x- 和 y- 方向变为

旋转方程：Rotation_x = -2Ωv_t - Ω²u；用于旋转动力学分析的公式。 , (26)

旋转动力学方程：Rotation_y = 2Ωu_t - Ω²v。适用于物理学和工程学研究。 . (27)

上述表达式表明，除了由离心加速度引起的与位移相关的惯性效应外，旋转运动还通过科里奥利加速度在位移分量之间引入了额外的耦合作用。因此，磁场与旋转的共同作用显著改变了旋转状态下纤维增强各向异性半导体介质的动力学响应及波传播特性。为了综合考虑电磁相互作用与旋转运动的共同影响，需将纤维增强各向异性半导体介质的运动方程推广，以同时包含电磁体积力以及在旋转参考系中出现的附加惯性加速度。据此，可变形旋转连续介质的通用运动方程可表示如下³¹˒³²

展示旋转力的流体动力学方程；带有矢量符号的数学公式。。（28）

此处， ρ 表示质量密度，以及 F_i 表示电磁体作用力分量。此外，矢量符号；在物理方程中表示角速度。表示旋转坐标系的角速度矢量。式（22）和式（24）分别对应科里奥利加速度和离心加速度。运动方程在 x- 和 y- 方向可能被写成

运动方程；动态平衡；数学公式；旋转系统中力的研究。 . (29)

流体动力学方程，ρ(v_tt + 2Ωu_t - Ω²v)=∂σ_xy/∂x + ∂σ_yy/∂y + F_y，静态平衡分析。（30）

将先前获得的电磁体力分量代入上述方程可得

各向同性介质中波传播的弹性波方程偏导数示意图。 . (31)

流体动力学方程：∂σxy/∂x + ∂σyy/∂y；力与运动分析示意图。 . (32)

接下来，将纤维增强各向异性半导体介质的本构关系代入上述方程，可得到以位移分量、温度场和载流子浓度表示的耦合运动方程³²

静力平衡方程；公式 ΣFx=0；科学分析；数学模型；研究。 . (33)

静态平衡方程；符号公式；教育物理学概念分析。 . (34)

最后，利用前述公式（15）给出的磁扰动场表达式，并将其代入上述方程，可将运动控制方程写成最终的耦合形式：

静态平衡的偏微分方程；包含弹性常数；方程形式。 . (35)

静态平衡方程；数学公式；用于教学和科研；简洁的关键词。 . (36)

这些方程揭示了旋转效应与磁场效应对介质热弹性响应的耦合作用。旋转项包含了科里奥利力和离心力的贡献，而磁场则引入了额外的电磁耦合，并改变了系统的动态行为。因此，控制方程建立了一个统一的框架，用于分析旋转状态下磁光热弹性纤维增强半导体中的波传播及多物理场相互作用。在光激发条件下，半导体介质的热行为显著受到热传导、载流子输运和力学变形之间相互作用的影响，从而导致强烈的热-光-弹性耦合过程。与经典的热传导模型不同，半导体材料中的温度分布不仅受热扩散的影响，还受到载流子复合和热弹性耦合的影响。因此，各向异性纤维增强半导体介质的广义热传导方程可表示如下⁷˒²³。

偏微分方程、应力-应变分析、力学平衡、符号表示。。（37）

上述方程清楚表明，旋转磁光热弹半导体介质内部的温度场受到各向异性热传导、载流子复合过程以及热弹性相互作用共同影响。 $能量方程 $E_g/τ$，科学公式，解析计算$ 描述了在光激发下因载流子复合而产生的热能，而涉及 $偏微分方程符号 $ u_{x,t} $，数学分析背景$ 和 $速度方程 $v_{y,t}$，数学符号，运动学，矢量分量分析$ 的耦合项则表示与时间相关的机械变形对介质热响应的影响。因此，温度场与载流子浓度和弹性场均强烈耦合，这在纤维增强半导体材料中热弹性波的传播特性中起着重要作用。在当前的模型中，半导体介质内部载流子浓度 N(x, y, t) 的演化由载流子扩散、复合过程以及光激发产生的热激活共同决定。相应地，描述非平衡载流子动力学的载流子输运方程可写为如下形式⁴^,²³

动态方程；扩散-反应过程；数学公式；瞬态行为分析。（38）

其中，D_E 表示载流子扩散系数，而拉普拉斯算子方程，∇²，用于静态平衡分析的数学符号。表示在 x-y 平面上的二维拉普拉斯算子。表示单位时间内做功速率的方程，N/τ。项对应于与载流子寿命 τ 相关的载流子复合效应。此外，κ 是由热导率方程 κ=∂N₀/∂T，在科学研究背景下的公式。定义的热-载流子耦合参数，其中 N₀ 表示平衡状态下载流子浓度。耦合项 κT 描述了温度场对半导体介质中过剩载流子生成的影响。上述方程表明，载流子浓度通过热激发载流子生成机制与热场强烈耦合。因此，载流子动力学行为高度依赖于热扩散和复合效应，这些因素显著影响旋转纤维增强各向异性半导体介质的光-热-弹耦合响应。至此，耦合的磁-光-热-弹半导体系统的控制方程与数学表述已完全建立。硅介质的物理与材料参数汇总于表 2，包括其数值、单位及相应参考文献。这些参数将在后续的数值计算与无量纲化过程中被使用。

旋转磁光热弹性纤维增强半导体模型的无量纲化表述

为了简化控制方程并获得耦合旋转磁光热弹系统的紧凑数学表达式，引入适当的特征尺度对物理变量进行无量纲化。该无量纲化过程可减少控制材料参数的数量，从而便于对耦合方程进行解析和数值处理。所选取的特征量与半导体介质的热弹性、电磁、旋转及载流子输运特性相一致¹⁶^,²¹。据此，引入以下无量纲变量：

流体动力学中无量纲分析方程，显示 x' = x/cTt*。，数学符号表示的微分方程 y'=y/cTt*。，表示时间归一化的方程 t'=t/t*，用于系统建模中的动态分析。，流体动力学中归一化速度的方程；公式：u' = u/(cTt*)。，运动学公式 v' = v / (cTt*)，表示速度变换。，热力学方程 T'=(βxx/A11)T，用于传热分析研究。，数学方程 N' = ηxx/A11 N，表示一个物理或工程公式。，应力变换方程：σ' = σ/A11，工程分析中的数学公式。， $表示材料中波速的方程：$ C_T^2 = \frac{A_{11}}{\rho} $。$ ，静态平衡方程，t* = K11/ρCEC²，公式图解，教学用物理概念。，静态平衡概念，方程 Ω'=Ωt*，用于教学分析的图示。。

此处，C_T 表示特征弹性波波速，而 t* 表示与耦合热弹性过程相关的特征热弛豫时间。此外，该参数定义了无量纲旋转参数静力平衡，ΣFx=0 示意图，力矩平衡法，物理教学概念，用于表征旋转运动对介质动态行为的影响。将上述无量纲量代入先前推导的控制方程后，该耦合系统被转化为归一化形式。这一变换显著简化了方程的数学结构，并为研究磁场、光激发、旋转、各向异性及载流子输运相互作用的综合效应提供了合适的分析框架。为简便起见，在后续分析中省略了无量纲量所对应的上标符号。因此，该耦合旋转磁-光-热-弹性系统的控制方程可写为如下无量纲形式¹⁶^,²⁰：

物理学中的偏微分方程；包含数学符号和变量的示意图。，（39）

流体动力学偏微分方程；方程可视化；静力平衡分析。，（40）

偏微分方程、热扩散、流体动力学、方程公式、研究分析。，（41）

扩散过程分析的偏微分方程；数学建模公式。 . (42)

旋转各向异性纤维增强半导体介质相应的无量纲应力分量结果如下：

应力-应变方程 σ_xx=∂u/∂x+a1∂v/∂y-(T+N)，弹性图分析。，（43）

应力分布公式示意图：σyy = a1 du/dx + a2 dv/dy - a3T - a4N。，（44）

材料分析中的静力平衡方程，σxy=a5(∂u/∂y+∂v/∂x)，应力-应变关系。 . (45)

无量纲系数 a_i（i = 1,2,...,18）表示耦合半导体介质中物理、热学、电磁、载流子及旋转参数的组合。这些系数刻画了各向异性、纤维增强、磁场、热弹性耦合、载流子输运以及旋转运动对系统整体行为的影响。因此，所获得的无量纲控制方程为分析旋转磁-光-热-弹性纤维增强半导体介质中的耦合波传播现象及多物理场相互作用提供了紧凑而高效的数学模型。引入无量纲参数 a_i、γ_i 和 δ_i 是为了表示控制纤维增强各向异性半导体介质中耦合旋转磁-光-热-弹性行为的物理与材料特性的紧凑组合。每个系数反映了耦合系统内特定的相互作用机制，并揭示了基本物理过程的相对影响。为便于理解，表1 中总结了无量纲参数及其相应的定义。

表1：当前公式中所用无量纲参数的定义及其物理意义。 该表格总结了控制方程中出现的无量纲参数，及其物理含义和在描述热弹性、电磁、载流子密度与旋转耦合相互作用中的作用。请点击此处下载该表格。

使用法向模式技术的解析解

为了求解耦合旋转磁光热弹系统的解析解，采用正则模态法。由于该方法能有效地将耦合的偏微分方程转化为简化后的常微分方程组，因此在广义热弹性理论和半导体理论中被广泛应用。这种方法在分析各向异性半导体介质中的波传播、衰减以及多物理场相互作用时尤为有效。在进行正则模态分析后，假设所有物理场量随时间及横向空间坐标呈谐波变化。因此，温度场、载流子密度、位移分量和应力分量均以指数形式表示²⁴^,²⁷

数学建模方程；稳定性分析；动态系统行为；时空变量。 . (46)

此处，ω 表示控制物理场时间变化的复频率参数。ω 的实部与波振幅的时间衰减（或增长）相关，而其虚部则代表传播模式的振荡行为。这些解释与本研究采用的传统本征模分析一致，其中 a 表示与 y 方向空间变化相关的波数。量 $Equilibrium state variables $ T^*, N^*, u^*, v^* $ in symbolic form; thermodynamic relations.$ 和 Chemical bonding diagram; sigma star (σ*) orbital; molecular orbital theory; electron configuration. 对应仅依赖于空间坐标 x 的场振幅。将上述本征模表达式代入先前获得的无量纲控制方程，并简化所得表达式后，原始的耦合偏微分方程组被转化为关于空间坐标 x 的常微分方程组。因此，变换域中的控制方程具有如下形式：

热平衡；方程 d²T*/dx²=E₇T*+a₁₃N*+E₈du*/dx*+E₉v*；过程分析示意图。，（47）

$非线性光学方程，$ \frac{d^2N^*}{dx^2} = E_{10}N^* - a_{18}T^* $，物理公式。$ ，（48）

微分方程，二阶导数，材料变形分析，科学公式。，（49）

微分方程、流体动力学分析，展示导数与系数，方程示意图。。（50）

此外，相应的转换应力分量可表示为

力学中的应力张量方程 σₓₓ，描述静力平衡，方程示意图。 , (51)

应力张量方程，σyy=a1Du*+iaa2v*-a3T*-a4N*，物理公式，教学示意图。，（52）

静力平衡方程 σ_x*y = iaa₅u* + a₅Dv*；示意图；弹性力学概念。 . (53)

此处，微分算子方程 D=d/dx，用于微积分研究的数学公式。表示关于空间坐标的微分算子。所得到的变换后系统构成了构建特征方程以及推导耦合旋转磁光热弹性问题完整解析解的数学基础。变换方程中出现的系数定义如下：

能量计算中的物理公式，变量表示：E₁ = a²a₅ - δ₁ + γ₁ω² , 能量守恒方程 E₂ = iaa₆，用于科学计算 , 静力平衡方程 F₁=δ₂ω，适用于物理学与力学研究 , 方程：E₃ = a²a₇ - δ₃ + a₈ω²，数学表达式，用于教学，形式简洁 , 数学方程 E₄=iaa₀；静力平衡概念；物理学研究 , 表示静力平衡的方程：E₅ = iaa₁₀（数学公式，用于教学） , 静力平衡方程 E₆=iaa₁₁；数学公式；聚焦研究关键词 , 力与角频率关系方程；公式 F2=δ4ω , 表示 E7 等于 a 的平方乘以 a12 加上 ω 的方程；数学表达式 , 平衡方程 E₈=a₁₄ω，用于动态分析的数学表达式 , $静力平衡方程 $E_9 = ia a_{15}$，公式分析，用于教学$ , 含变量与常数的方程，E₁₀=a²+a₁₇+a₁₆ω，数学公式。

这些系数包含了各向异性弹性、磁场相互作用、热耦合、载流子输运以及旋转效应的综合贡献。因此，变换后的系统提供了一种紧凑的表达形式，适用于求解特征根并研究旋转纤维增强半导体介质中的耦合波传播行为。

补充文件1：基于矩阵形式的解析解。 本文件包含耦合磁光热弹性模型的详细矩阵表达式、特征值求解过程、特征方程推导，以及获得通解所用的中间解析步骤。请点击此处下载该文件。

详细的矩阵公式、特征值求解过程以及特征方程的推导见补充文件1。

边界条件与未知常数的确定

为完成解析公式的构建，将所得的通解代入在表面 x = 0 处施加的给定边界条件。该代入过程生成了一个包含未知振幅常数静态平衡示意图；ΣFi=0；展示力的平衡；教学用物理工具。的耦合代数方程组。与温度、载流子浓度、机械位移和应力约束相关的每一项边界条件均以容许的本征模形式表示，从而得到一组将系数相互关联的线性方程组。为便于处理，所得代数方程组被重写为紧凑的矩阵形式 BC = D，其中 B 表示由在边界表面处计算的本征向量分量构成的系数矩阵，矩阵表示，方程；以数学符号表示向量 C，其分量为 C1, C2, C3, C4。表示未知常数的向量，而 D 对应于由施加的边界条件生成的向量，包括热载荷参数 θ₀、载流子激发项 N₀ 以及给定的位移条件。在求解这些常数后，将其代回场变量的通解表达式中，以获得完整的解析解。这些表达式随后被用于对旋转纤维增强各向异性半导体介质中的热弹性、载流子浓度和位移场进行数值计算与图形可视化。所采用的边界条件代表一个受到光照射的半导体表面，同时承受热激发和载流子激发。给定的温度条件用于模拟入射光场产生的热载荷，而载流子浓度条件则描述了由光学照射产生的光生过剩载流子。此外，横向位移约束表示表面在 -方向上的机械限制，而剪切应力为零的条件则对应于切向无牵引力的边界。因此，所选取的混合热学、电子学和力学边界条件为半导体表面处的耦合光-热-弹性相互作用提供了物理上自洽的描述，并为确定解中未知常数提供了必要的约束条件。所施加的边界条件如下所示：

温度限制：

热力学方程，T*(0,y,t)=θ₀e^(ωt+iy)，表示温度变化。。（78）

该条件表示由周期性光加热引起的谐波变化的表面温度。它作为主要的热激发，驱动介质内部的耦合热弹性与载流子输运过程。振幅 θ₀表征所施加热载荷的强度。

载流子密度限制：

量子态演化，方程 N*(0,y,t)=N0e^(ωt+iay)，复波动力学分析。 . (79)

该边界条件描述了由光学照射引起的光生载流子密度，反映了由于光子吸收导致的电子激发及其与入射光场一致的谐波调制。

位移约束：

$流体动力学分析中的速度边界条件方程 $v^*(0,y,t) = 0$。$ . (80)

该条件表明边界在横向方向上受到机械约束。因此，表面沿-方向不发生位移。

剪切应力约束：

静力平衡，σxy(0,y,t)=0，方程，材料力学研究中的应力分析公式。 . （81）

该条件对应于剪切应力意义上的无剪力边界。它确保表面上无切向力作用，这与切向方向上的力学自由边界一致。除了在 x = 0 处的边界条件外，还施加了无穷远处的物理条件：变量 T*、N*、u*、v* 随 x 趋于无穷时趋近于零的方程。，以保证在半无限区域内物理解的有界性。为了清晰概述本研究中采用的分析与计算流程，图2 总结了求解方法的主要步骤。

$求解微分方程的流程图，显示线性代数步骤、特征值及求解 $C_i$。$
图 2：本研究采用的解析求解流程图，包括控制方程的建立、正规模态分析、特征值求解、边界条件的施加以及物理场变量的计算。 该图总结了获得解析解的主要计算步骤，并进一步对耦合的磁-光-热弹响应进行数值评估。请点击此处查看此图的放大版本。

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结果

为了获得本研究中呈现的数值结果，选择硅（Si）作为代表性半导体材料，因其在半导体和热弹性工程应用中具有广泛的适用性。表2总结了计算中所采用的物理、热学、弹性、电磁以及载流子相关的材料性质。这些材料常数被代入无量纲控制方程中，以生成后续章节所讨论的数值结果。此外，数值计算在无量纲空间域数学不等式 0≤x≤7，以方程形式显示。上进行，空间步长为 Δx=0.01，公式，表示数值方法的步长。。该参数选择被证实能够提供足够的数值分辨率，并确保计算域内所研究物理场的完整...

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讨论

特征值可接受性、稳定性与有界性分析

所获得的特征值的可接受性由物理条件决定，即所有场变量在半无限区域 x ≥ 0 内必须保持有界。通解的特征解以指数模态形式表示，即复数分析中的指数函数 e^(-mix) 符号。。因此，解的渐近行为直接取决于特征值静力平衡；ΣF=0；受力图；物理概念；平衡分析；教学用途。的实部。为满足在无穷远处的有界性条件，仅保留满足

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披露

作者声明不存在任何竞争利益。

致谢

作者感谢沙特国王 Khalid 大学研究与研究生院通过大型研究团队项目（资助号：RGP2/230/47）对本工作的资助。

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材料

本文使用的材料清单
姓名	公司	目录编号	评论
计算软件（符号与数值分析）	Wolfram Research	使用了 Wolfram Mathematica（版本 12.0）	用于特征值计算、解析解实现及数值评估
材料参数数据集（硅半导体特性）	多种文献来源	N/A	计算中使用的物理常数（弹性、热学、载流子相关）（见表1）
个人计算机/工作站	HP	N/A	在运行 Windows 操作系统的标准个人计算机上进行计算，具备足够的内存以支持数值模拟
公式编辑器	Microsoft Word 和 MathType	N/A	用于稿件中数学表达式的排版与呈现
参考文献管理软件	Elsevier	N/A	用于管理参考文献并格式化引文（温哥华格式）

参考文献

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旋转效应对光学激发下纤维增强各向异性半导体半空间中磁-光-热弹性波传播的影响

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