20.1: Unsicherheit und Erwartungswert

Menschen stehen vor unsicheren Situationen. Unsicherheit entsteht in Situationen, in denen zukünftige Ergebnisse unbekannt sind und durch Zufall oder externe Faktoren beeinflusst werden. Ein College-Student kann einen gut bezahlten Job bekommen, sobald er in der Zukunft seinen Abschluss gemacht hat oder für längere Zeit arbeitslos bleibt. 

Ein weiteres Beispiel für Unsicherheit ist ein College-Basketballteam, das das letzte Spiel einer Meisterschaft spielt. Die Mannschaft kann entweder das letzte Spiel der Meisterschaft gewinnen und das Preisgeld verdienen oder verlieren und nichts verdienen.

Ergebnisse sind die potenziellen Ergebnisse eines unsicheren Ereignisses. In einer Basketball-Meisterschaft besteht das Ergebnis beispielsweise darin, entweder das Spiel und die Meisterschaft zu gewinnen oder beide zu verlieren. 

Auszahlungen stellen den Wert dar, der mit jedem Ergebnis verbunden ist. Angenommen, das Team erhält 10.000 $, wenn es gewinnt, und 6.000 $, wenn es verliert. Die Auszahlungen in diesem Beispiel betragen also 10.000 $ und 6.000 $.

Die Wahrscheinlichkeit quantifiziert die Wahrscheinlichkeit unterschiedlicher Ergebnisse in unsicheren Situationen. Zum Beispiel wird davon ausgegangen, dass die College-Mannschaft eine Wahrscheinlichkeit von 0,5 hat, das Endspiel zu gewinnen, und eine Wahrscheinlichkeit, das Endspiel zu verlieren, von 0,5

Der Erwartungswert ist ein nützliches Werkzeug, um unsichere Situationen zu bewerten. Er stellt die durchschnittliche Auszahlung aller möglichen Ergebnisse dar, gewichtet nach ihren Wahrscheinlichkeiten. Sie wird berechnet, indem die Produkte jeder Auszahlung und der damit verbundenen Wahrscheinlichkeit addiert werden. Er wird wie folgt ausgedrückt:

Expected Value = (P₁×X₁) + (P₂×X₂)

wobei P₁ und P₂ die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ergebnisse und X₁ und X₂ die entsprechenden Auszahlungen sind.

Das erwartete Einkommen, d. h. die Schätzung der erwarteten Einnahmen des College-Teams, beträgt

(0.5×10.000 $)+(0.5×6.000 $) = 8.000 $

Diese Analyse ist hilfreich bei der Entscheidungsfindung unter Unsicherheit.

Menschen stehen vor unsicheren Situationen. 

Zum Beispiel informiert Nicoles Vorgesetzter sie, dass sie einen höheren Bonus erhält, wenn das Unternehmen gut abschneidet, und einen niedrigeren Bonus, wenn seine Leistung durchschnittlich ist.

Ergebnisse sind die möglichen Ergebnisse in unsicheren Situationen. Für Nicole sind dies je nach Leistung des Unternehmens höhere oder niedrigere Boni.

Auszahlungen stellen den Wert dar, der mit jedem Ergebnis verbunden ist. Für Nicole betragen die Auszahlungen 10.000 $ für einen höheren Bonus und 5.000 $ für einen niedrigeren Bonus.

Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ergebnis in einer Situation der Unsicherheit eintreten wird. So wird beispielsweise davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Unternehmen gut oder durchschnittlich abschneidet, jeweils 0,5 beträgt.

Der Erwartungswert wird berechnet, indem jede Auszahlung mit ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit multipliziert und dann die gewichteten Auszahlungen addiert werden.

Hier ist der Erwartungswert das Produkt einer Auszahlung von 10.000 $ und seine Wahrscheinlichkeit von 0,5 addiert zum Produkt einer Auszahlung von 5.000 $ und seiner Wahrscheinlichkeit von 0,5, was zu 7.500 $ führt.

• Uncertainty - Situation wherein unknown future outcomes are majorly influenced by chance or exterior factors.
• Outcome - Possible result originated from uncertain situations.
• Payoff - Value attached to the outcomes.
• Probability - Statistical assessment of the likelihood of different consequences in uncertain conditions.
• Expected Value - Average payoff throughout all possible outcomes, addressed in ratio by their likelihood of occurrence.

• Define Uncertainty – Comprehend its occurrence through different scenarios (e.g., student's job chances post graduation).
• Contrast Outcome vs Payoff – Distinguish between the two in terms of value and the final result (e.g., championship game).
• Explore Examples – Demonstrate how uncertainty plays out in real-world scenarios (e.g., basketball championship).
• Explain Probability – Understand its role in determining outcomes.
• Apply Expected Value in Context – Describe how it helps in making decisions under uncertainty.

• What is uncertainty and how does it affect outcomes?
• How does a payoff differ from an outcome in an uncertain situation?
• How does probability impact the expected value?

• Students – Gain insight into how uncertainty plays out in various spheres of life.
• Educators – Offers a framework for making complex statistical concepts relatable.
• Researchers – Can assess decisions and behaviors under uncertainty.
• Decision Makers – Helps in decision-making process considering the various uncertain factors.