1.11: Messunsicherheit: Signifikante Zahlen

All the digits in a measurement, including the uncertain last digit, are called significant figures or significant digits. Note that zero may be a measured value; for example, if a scale that shows weight to the nearest pound reads “140,” then the 1 (hundreds), 4 (tens), and 0 (ones) are all significant (measured) values.

A measurement result is properly reported when its significant digits accurately represent the certainty of the measurement process. Below are a set of rules to determine the number of significant figures in a measurement:

1. All nonzero digits are significant. Starting with the first nonzero digit on the left, count this digit and all remaining digits to the right. This is the number of significant figures in the measurement. For example, 843 has three significant digits, 843.12 has 5 significant digits. 
2. Captive zeros, which are zeros between two nonzero digits, are significant. For example, 808.101 has two captive zeros and 6 significant figures.
3. Leading zeros are zeros to the left of the first nonzero digit. Leading digits are never significant; they merely represent the position of the decimal point. For example, the leading zeros in 0.008081 are not significant. This number can be expressed using exponential notation as 8.081 × 10⁻³, then the number 8.081 contains all the significant figures, and 10⁻³ locates the decimal point.
4. The significance of trailing zeros, which are zeros at the end of a number, depends on their position. Trailing zeros before (but after a nonzero digit) and after the decimal point are significant. However, for numbers that do not have decimal points, trailing zeros may or may not be significant. This ambiguity can be resolved with the use of exponential notation. For example, the measurement 1300 can be written as 1.3 × 10³ (two significant figures), 1.30 × 10³ (three significant figures, if the tens place was measured), or 1.300 × 10³ (four significant figures, if the ones place was also measured).

Significant Figures in Calculations

Uncertainty in measurements can be avoided by reporting the results of calculation with the correct number of significant figures. This can be determined by the following the rules for rounding numbers:

1. When adding or subtracting numbers, round the result to the same number of decimal places as the number with the least number of decimal places.
2. When multiplying or dividing numbers, round the result to the same number of digits as the number with the least number of significant figures.
3. If the digit to be dropped (the one immediately to the right of the digit to be retained) is less than 5, “round down” and leave the retained digit unchanged.
4. If the digit to be dropped (the one immediately to the right of the digit to be retained) is 5 or greater, “round up” and increase the retained digit by 1. Alternative rounding methods may also be used if the dropped digit is 5. The retained digit is rounded up or down, whichever yields an even value.

An important note is that rounding of significant figures should preferably be done at the end of a multistep calculation to avoid the accumulation of errors at each step due to rounding. Thus, significant figures and rounding, facilitate correct representation of the certainty of the measured values reported.

This text is adapted from Openstax, Chemistry 2e, Section 1.5: Measurement Uncertainty, Accuracy, and Precision.

Alle Zahlen in einer wissenschaftlichen Messung sind sicher, bis auf die letzte Ziffer. Die Genauigkeit der Messung hängt von zwei Faktoren ab:der Anzahl der Messungen und der Genauigkeit des verwendeten Instruments. Bei einer Messgröße werden alle Ziffern, einschließlich der letzten ungewissen Ziffer, als signifikante Zahlen bezeichnet und können nach bestimmten Regeln bestimmt werden.

Alle Nicht-Null-Ziffern und alle Zwischen-Nullen an Stellen zwischen zwei Nicht-Null-Ziffern sind signifikant. So hat beispielsweise 28 zwei signifikante Ziffern, während 26, 25 vier und 208 drei signifikante Ziffern aufweist. Führende Nullen sind nie signifikant, sie bestimmen nur die Stelle von dem Dezimalkomma.

Zum Beispiel hat 0, 00208 drei signifikante Ziffern. Solche Größen können mithilfe exponenzieller Bezeichnungen ausgedrückt werden. So kann 0, 00208 als 2, 08 10-³ geschrieben werden.

Nachgestellte Nullen sind nur bei Dezimalzahlen signifikant. 2200 hat zwei nachgestellte Nullen und zwei signifikante Ziffern, während 2200, 0 und 2200, 1 beide 5 signifikante Ziffern haben. Bei Werten ohne Dezimalkomma wird die Signifikanz der nachgestellten Nullen mehrdeutig.

Daher kann 2200 als 2, 2 10³ mit zwei signifikanten Ziffern oder 2, 20 10³ mit drei signifikanten Ziffern geschrieben werden. Signifikante Ziffern bringen auch Genauigkeit bei mathematischen Operationen. Beim Addieren oder Subtrahieren sollte das Ergebnis so gerundet werden, dass es die gleiche Anzahl von Dezimalstellen hat wie der Messwert mit den wenigsten Dezimalstellen.

Es sollte abgerundet werden, wenn die letzte Ziffer unter 5 liegt, und aufgerundet werden, wenn sie 5 oder mehr beträgt Andere Rundungsmethoden werden manchmal verwendet wenn die letzte Ziffer 5 ist. Zum Beispiel, die Summe von 2, 052 und 1, 2 wird als 3, 3 gerundet. Beim Multiplizieren oder Dividieren sollte das Ergebnis jedoch so gerundet werden, dass es dieselbe Anzahl signifikanter Ziffern aufweist wie der Messwert mit den wenigsten signifikanten Ziffern.

Also, das Produkt von 2, 052 und 1, 2 wird als 2, 5 gerundet. Oft wiederholen Wissenschaftler ihre Experimente, um Präzision bei ihren Messungen zu erreichen. Die Standardabweichung ist ein Statistischer Wert einer solchen Präzision und misst die Abweichungen vom erwarteten Wert.

Wenn die Präzision hoch ist, ist die Standardabweichung klein und umgekehrt. Zwei Gruppen maßen zum Beispiel die Dicke eines Buches in Zentimetern. Sie fanden den gleichen Mittelwert 10, 6 Zentimeter.

Die Messungen der ersten Gruppe sind jedoch präziser und weisen daher eine geringere Standardabweichung auf. Die Messungen der zweiten Gruppe sind breiter gestreut und weisen eine höhere Standardabweichung auf.