7.9: Das quantenmechanische Modell eines Atoms

Kurz nachdem de Broglie seine Ideen veröffentlicht hatte, dass man sich das Elektron in einem Wasserstoffatom besser als kreisförmige stehende Welle vorstellen müsse, statt als Teilchen das sich auf quantisierten Kreisbahnen bewegt, erweiterte Erwin Schrödinger de Broglies Arbeit, indem er ableitete, was heute als Schrödinger Gleichung bekannt ist. Als Schrödinger seine Gleichung auf simple wasserstoffähnliche Atome anwendete, vereinfachte sie sich zu Bohrs Ausdruck für die Energie und damit auch zur Rydberg-Formel für Wasserstoffspektren. Schrödinger beschrieb Elektronen als dreidimensionale stationäre Wellen oder Wellenfunktionen, dargestellt durch den griechischen Buchstaben psi, ψ.

Einige Jahre später schlug Max Born eine bis heute akzeptierte Interpretation der Wellenfunktion ψ vor: Elektronen sind immer noch Teilchen und daher sind die durch ψ dargestellten Wellen keine physikalischen Wellen, sondern komplexe Wahrscheinlichkeitsamplituden. Das Betragsquadrat einer Wellenfunktion ∣ψ∣² beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Quantenteilchen in der Nähe eines bestimmten Ortes im Raum befindet. Dies bedeutet, dass Wellenfunktionen verwendet werden können, um die Verteilung der Elektronendichte in Bezug auf den Kern in einem Atom zu bestimmen. In der allgemeinsten Form kann die Schrödinger-Gleichung wie folgt geschrieben werden:

Dabei ist H der Hamilton-Operator, eine Reihe mathematischer Operationen, welche die Gesamtenergie (Potenzial plus Kinetik) des Quantenteilchens (z. B. eines Elektrons in einem Atom) darstellen. ψ ist die Wellenfunktion dieses Teilchens, mit der die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an einem Ort zu finden ermittelt werden kann und E ist der tatsächliche Wert der Gesamtenergie des Teilchens.

Schrödingers Arbeit sowie die von Heisenberg und vielen anderen Wissenschaftlern, die in ihre Fußstapfen traten, werden allgemein als Quantenmechanik bezeichnet.

Das quantenmechanische Modell beschreibt ein Orbital als einen dreidimensionalen Raum um den Kern eines Atoms, in dem die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron zu finden am höchsten ist.

Dieser Text wurde adaptiert von Openstax, Chemistry 2e, Section 6.3: Development of Quantum Theory.

Erinnern Sie sich, dass die Teilchen-und Wellennatur eines Elektrons, und damit auch seine Position und Geschwindigkeit, komplementäre Eigenschaften sind? Ebenso, da die kinetische Energie eine Funktion der Geschwindigkeit ist, sind Position und Energie ebenfalls komplementäre Eigenschaften. Also ist die Position eines Elektrons mit einer wohldefinierten Energie weniger genau bekannt.

Stattdessen wird die Position des Elektrons durch die Elektron-Wahrscheinlichkeitsdichte beschrieben die die Wahrscheinlichkeit des Findens eines Elektrons bei einer bestimmten Energie beschreibt. In dieser Darstellung liegt das Elektron mit größerer Wahrscheinlichkeit nah am Atomkern, als dass es sehr weit davon entfernt liegt. Die Energien und die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Elektrons sind mathematisch durch die Lösung der Schrödinger Gleichung abgeleitet, die sowohl die Wellen-als auch die Teilchennatur des Elektrons integriert.

Dabei ist E die tatsächliche Energie des Elektrons, H ist ein mathematischer Operator, und psi ist eine Wellenfunktion. Das Lösen der Schrödinger-Gleichung ergibt viele mögliche Wellenfunktionen. Es ist jedoch das Quadrat der Wellenfunktion, psi-Quadrat, die die Elektronen-Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt.

Die Dichte der Punkte ist proportional zur Wahrscheinlichkeit pro Volumeneinheit der Ortung des Elektrons an einer bestimmten Position. Eine Darstellung von psi-Quadrat in Bezug auf r die Entfernung vom Atomkern zeigt an, wo das Elektron in einem Atom am wahrscheinlichsten vorhanden ist. Je größer der Wert von psi-Quadrat, desto höher die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zu finden.

Diese spezielle Karte zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte von Wasserstoff, der 1 Elektron hat. Der dreidimensionale Bereich, in dem es die höchste Wahrscheinlichkeit besteht, ein Elektron mit spezifischer Energie zu finden, wird als Orbital bezeichnet. Orbitale haben unterschiedliche Formen, von kugelförmig zu komplexeren, abhängig von den Werten ihrer Quantenzahlen.

Diese Orbitale sind nicht dasselbe wie die Orbitale, die Bohr ursprünglich in seinem Atommodell beschrieb. Im Bohr'schen Modell stellen die Bahnen quantisierte Energiezustände dar. Also das quantenmechanische Modell des Atoms, das auf Wahrscheinlichkeiten basiert, ist die zeitgemäße Darstellung der atomaren Struktur.

Sie liefert eine genauere Darstellung des Atoms durch die Darstellung der Elektronen-Wahrscheinlichkeitsdichte als einer Wolke"von Elektronen, die den Kern umgeben.