Poisson- und Laplace-Gleichung

In der Vektornotation wird das elektrische Feld als negativer Gradient des elektrischen Potentials ausgedrückt. Hier zeigt der Gradient des Potentials immer auf die steilste Abnahme des Potentials, und seine Lösung ergibt einen Vektor – ein elektrisches Feld.

Gemäß der Differentialform des Gaußschen Gesetzes ist der Gradient eines elektrischen Feldes gleich dem Verhältnis der eingeschlossenen Volumenladungsdichte zur Freiraum-Permittivität.

Das Einsetzen des Potentialgradienten im Gaußschen Gesetz ergibt einen Ausdruck für die Poisson-Gleichung. Hier ist die Divergenz des Gradienten des skalaren Potentials der Laplace-Operator, was zu einer Skalarfunktion führt.

Laplaceian ist analog zur Differenzierung der skalaren Größen zweiter Ordnung. Für das elektrische Potential ist es niedriger, wenn es sich in der Nähe der lokalen Minima befindet, und höher, wenn es sich in der Nähe der lokalen Maxima befindet.

Wenn die eingeschlossene Volumenladung Null ist, reduziert sich die Poisson-Gleichung auf die Laplace-Gleichung.

Die Laplace-Gleichung hat eine eindeutige Lösung in einem gegebenen Volumen, wenn das Potential an der Grenze der Oberfläche angegeben wird, gegeben durch den ersten Eindeutigkeitssatz.