25.12: Elektrostatische Randbedingungen in Dielektrika

Wenn ein elektrisches Feld von einem homogenen Medium in ein anderes übergeht und dabei die Grenze zwischen den beiden Medien überquert, führt dies zu einer Diskontinuität im elektrischen Feld. Dies hat zur Folge, dass die elektrostatischen Randbedingungen von der Art der Medien abhängen, durch die sich das Feld ausbreitet.

Betrachten wir einen Fall, in dem beide Medien auf beiden Seiten einer Grenze aus verschiedenen dielektrischen Materialien bestehen. Erinnern Sie sich daran, dass das elektrische Feld und die elektrische Verschiebung proportional zueinander sind und über die Permittivität des Materials miteinander zusammenhängen. Wenn das elektrische Feld in den elektrostatischen Randbedingungen durch die elektrische Verschiebung ersetzt wird, zeigt sich, dass die tangentiale Komponente der elektrischen Verschiebung an der Grenzfläche diskontinuierlich ist. Aber für den gleichen Fall ist das elektrische Feld kontinuierlich. Ähnlich ist die normale Komponente des elektrischen Feldes an der Grenzfläche diskontinuierlich. Die normale Komponente der elektrischen Verschiebung hingegen ist kontinuierlich, wenn es keine freien Ladungen an der Grenzfläche gibt.

Betrachten wir den Fall, dass eines der dielektrischen Materialien durch einen perfekten Leiter ersetzt wird. Wenn das elektrische Feld innerhalb eines perfekten Leiters als Null angenommen wird, ergeben sich die Randbedingungen für eine Leiter-Dielektrikum-Grenzfläche. Wenn das andere Dielektrikum entfernt wird, entspricht die Permittivität des Materials der Permittivität des Freiraums, da der Wert der Dielektrizitätskonstante für den Freiraum 1 beträgt. Setzt man dies in die Randbedingungen für die Leiter-Freiraum-Grenzfläche ein, erhält man die Randbedingungen für eine Leiter-Freiraum-Grenzfläche.

Die elektrostatische Randbedingung gibt die Diskontinuität eines elektrischen Feldes an einer Oberflächengrenze an. Stellen Sie sich den Fall vor, dass beide Medien auf der anderen Seite der Grenze dielektrische Materialien sind.

Das Umschreiben des elektrischen Feldes in Bezug auf die elektrische Verschiebung zeigt, dass seine tangentiale Komponente über die Grenzfläche diskontinuierlich ist.

Für die normale Komponente sollten Sie eine Gaußsche Pillbox auf der Schnittstelle in Betracht ziehen. Wenn man das Gaußsche Gesetz in Bezug auf die elektrische Verschiebung umschreibt, ergibt die Änderung der normalen Komponenten an der Grenzfläche die freie Ladungsdichte der Oberfläche.

Wenn an der Grenze keine freien Gebühren vorhanden sind, sind die normalen Komponenten über die Schnittstelle kontinuierlich. Das elektrische Feld dafür ist jedoch diskontinuierlich.

Betrachten Sie einen perfekten Leiter anstelle eines der Dielektrika. Das elektrische Feld in einem perfekten Leiter ist Null. Setzt man dies in die dielektrisch-dielektrischen Randbedingungen ein, erhält man die Randbedingungen an einer Leiter-Dielektrikum-Grenzfläche.

Wenn das andere Dielektrikum entfernt wird, entspricht die Permittivität des Materials der Permittivität des freien Raums. Daraus ergeben sich die Randbedingungen an einer leiterfreien Raumgrenzfläche.