Ein RLC-Schaltkreis als ein gedämpfter Oszillator

Betrachten Sie die Differentialgleichung einer RLC-Schaltung. In Analogie zum gedämpften harmonischen Oszillator ist die Lösung der RLC-Schaltungsgleichung durch eine Exponentialfunktion gegeben.

Differenziert man die Lösung zweimal mit der Zeit und ersetzt man den Widerstandsfaktor und die Schwingungsfrequenz, erhält man eine quadratische Gleichung mit zwei möglichen Lösungen.

Die Summe dieser ergibt die endgültige Lösung der RLC-Schaltungsgleichung

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Betrachten Sie den unterdämpften Fall, bei dem der Widerstandsfaktor kleiner als die Schwingungsfrequenz ist. In diesem Fall wird die Lösung imaginär.

Durch Einsetzen des imaginären Terms erhält man die komplexe Lösung der unterdämpften RLC-Schaltung. Durch die Verwendung der Eulerschen Formel wird die Gleichung vereinfacht.

Damit die Gleichung real ist, müssen A₁ und A₂ komplexe Konjugate voneinander sein, was die Lösung weiter vereinfacht.

Durch Ausdrücken der Koeffizienten in Bezug auf die Ladungsamplitude und Ersetzen des Widerstandsfaktors erhält man die endgültige Lösung für den unterdämpften RLC-Oszillator.

Dabei stellen ω' und Φ die Kreisfrequenz bzw. den Phasenwinkel der unterdämpften RLC-Schaltung dar.