7.9
Beziehung zwischen Scher- und Biegemoment
Wenn ein Balken verschiedenen Lasten wie einer verteilen Last, punktförmigen Lasten und einem Momentpaar ausgesetzt ist, erfährt er sowohl Scherkräfte…
Angenommen, ein Balken wird einer verteilten Last, zwei konzentrierten Lasten und einem Moment ausgesetzt. Stellen Sie das Verhältnis zwischen der Schubkraft und dem Biegemoment her.
Betrachten Sie einen Elementquerschnitt des Trägers, und zeichnen Sie ein Freikörperdiagramm des Schnitts.
Damit sich der Schnitt im Gleichgewicht befindet, sollte das Moment, das auf der rechten Seite des Schnitts wirkt, um einen kleinen und endlichen Betrag höher sein.
Eine resultierende Kraft der verteilten Last wird in einem Bruchteil des Abstands vom rechten Ende des Abschnitts ausgeübt.
Mit Hilfe der Gleichgewichtsgleichung für das Moment kann eine Beziehung zwischen Moment und Scherung erhalten werden.
Ferner wird durch Division durch Δx und Heranführung von Δx gegen Null die Steigung des Momentendiagramms bestimmt, die der Scherung entspricht.
Ein maximales Biegemoment tritt an dem Punkt auf, an dem die Steigung des Moments und die Schubung Null sind.
Durch die Integration der verteilten Last über den Elementquerschnitt, die zwischen zwei beliebigen Punkten liegt, erhält man eine Korrelation zwischen der Änderung des Biegemoments und der Fläche unter dem Schubdiagramm.
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Q1: How do you establish the relationship between shear and bending moment in a beam?
To establish the relationship, analyze an elemental section of the beam using a free-body diagram. Apply equilibrium equations for moments, noting that the moment on the right side should be higher by a small amount. By dividing the moment equation by Δx and letting Δx approach zero, you determine the slope of the moment diagram, which equals the shear force.
Q2: What does the slope of the moment diagram represent?
The slope of the moment diagram is equivalent to the shear force acting on the beam. This relationship is derived by dividing the moment equilibrium equation by the elemental length Δx and taking the limit as Δx approaches zero, establishing a direct mathematical connection between moment and shear.
Q3: Where does the maximum bending moment occur on a beam?
The maximum bending moment occurs at the point where both the slope of the moment diagram and the shear force are zero. This critical location represents a transition point where the shear changes sign, making it essential for structural design and analysis.
Q4: How does the area under the shear diagram relate to bending moment?
By integrating the distributed load over an elemental section between two arbitrary points, a correlation emerges: the change in bending moment equals the area under the shear diagram. This relationship provides a graphical method for determining moment variations along the beam's length.
Q5: Why must the moment on the right side of an elemental section be higher than on the left?
For the elemental section to remain in equilibrium, the moment on the right side must be higher by a small finite amount to balance the effects of shear forces and distributed loads acting on the section. This moment difference is essential for maintaining rotational equilibrium of the infinitesimal element.
Q6: What role does the distributed load play in the shear-moment relationship?
The distributed load exerts a resultant force at a fractional distance from the section's right end, creating the moment differential needed for equilibrium. When integrated over the elemental section, the distributed load determines how shear and moment vary along the beam, directly influencing the shape of both diagrams.
Q7: How do concentrated loads and couple moments affect the shear-moment relationship?
Concentrated loads and couple moments contribute to the overall loading condition on the beam, affecting both shear and bending moment distributions. These loads must be included in the free-body diagram analysis to accurately establish the relationship between shear and moment throughout the beam.