15.5
Frequenz des Feder-Masse-Systems
Eine interessante Eigenschaft der harmonischen Schwingung (SHM) eines Objekts, das an eine Feder angeschlossen ist, ist, dass die Winkelgeschwindigkei…
Betrachten Sie einen Block mit der Masse m, der mit einer horizontalen Feder verbunden ist, die über einer reibungsfreien Oberfläche platziert ist.
Die Nettokraft auf den Block ist die Summe aus der Kraft aufgrund seines Gewichts, der Normalkraft und der Kraft aufgrund der Feder.
Da das Gewicht und die Normalkraft gleich groß und in entgegengesetzter Richtung sind, heben sie sich gegenseitig auf, und die Nettokraft wird gleich der Kraft, die durch die Feder entsteht.
Hier ist die Größe der Kraft proportional zur ersten Verschiebungspotenz. Aus diesem Grund wird das Feder-Masse-System als linearer einfacher harmonischer Oszillator bezeichnet.
Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz kann die Kraft in Form von Beschleunigung ausgedrückt werden.
Setzt man die Ausdrücke für Beschleunigung und Verschiebung ein, erhält man die Gleichung für die Kreisfrequenz
.Die Kreisfrequenz wird auch als 2π über die Schwingungsperiode definiert.
Der Kehrwert der Periode ist auch die Schwingungsfrequenz.
Eine steife Feder erzeugt schnelle Schwingungen und eine kurze Periode. Im Vergleich dazu neigt ein schweres Objekt dazu, träge Schwingungen und eine große Periode zu erzeugen.
View the full transcript and gain access to JoVE Core videos
Q1: Why is a spring-mass system called a linear simple harmonic oscillator?
A spring-mass system is called a linear simple harmonic oscillator because the spring force is proportional to the first power of displacement, following Hooke's law. On a frictionless surface, weight and normal force cancel, leaving only the spring force as the net force. This linear relationship between force and displacement defines the system's oscillatory behavior.
Q2: What factors determine the angular frequency of a spring-mass system?
Angular frequency depends only on the mass and the spring's force constant, not on amplitude or initial conditions. Using Newton's second law with expressions for acceleration and displacement yields the angular frequency equation. A stiffer spring increases angular frequency, while greater mass decreases it, producing faster or slower oscillations respectively.
Q3: How does spring stiffness affect the period of oscillation?
A stiffer spring produces a shorter period and rapid oscillations, while a more flexible spring produces a longer period. The period depends only on mass and spring force constant. Mathematically, period is inversely related to angular frequency, so increased stiffness reduces the time for one complete oscillation.
Q4: What is the relationship between period and frequency in spring-mass oscillations?
Frequency is the inverse of the period of oscillation. If a spring-mass system completes one full oscillation in time T, its frequency is 1/T. Angular frequency relates to period through the equation ω = 2π/T, connecting these fundamental oscillation parameters.
Q5: How does mass affect the oscillation behavior of a spring-mass system?
A heavier mass produces sluggish oscillations with a longer period, while a lighter mass produces rapid oscillations with a shorter period. Since period is proportional to the square root of mass, doubling the mass increases the period by a factor of √2, slowing the system's oscillatory motion.
Q6: Why do weight and normal force not affect the spring-mass system's oscillation?
On a frictionless horizontal surface, weight and normal force are equal in magnitude and opposite in direction, so they cancel completely. The net force becomes equal only to the spring force, which acts parallel to the surface. This cancellation simplifies the system to depend solely on spring force and mass.
Q7: How can you derive the angular frequency equation for a spring-mass system?
Start with Newton's second law, F = ma, and substitute Hooke's law (F = -kx) for spring force and the acceleration expression from kinematics. Solving the resulting differential equation yields the angular frequency ω = √(k/m), where k is the force constant and m is mass.