15.5: Frequenz des Feder-Masse-Systems

Eine interessante Eigenschaft der harmonischen Schwingung (SHM) eines Objekts, das an eine Feder angeschlossen ist, ist, dass die Winkelgeschwindigkeit sowie die Periode und die Frequenz der Bewegung nur von der Masse und der Federkonstante abhängen und nicht von anderen Faktoren wie der Amplitude der Bewegung oder den Anfangsbedingungen. Wir können die Bewegungsgleichungen und das 2. Newtonsche Gesetz verwenden, um die Winkelgeschwindigkeit, Frequenz und Periode zu finden.

Betrachten wir einen Block auf einer Feder auf einer reibungsfreien Oberfläche. Es wirken drei Kräfte auf die Masse: das Gewicht, die Normalkraft und die Kraft aufgrund der Feder. Die einzigen beiden Kräfte, die senkrecht zur Oberfläche wirken, sind das Gewicht und die Normalkraft, die gleiche Beträge und entgegengesetzte Richtungen haben. Ihre Summe ist daher null. Die einzige Kraft, die parallel zur Oberfläche wirkt, ist die Kraft aufgrund der Feder, daher muss die resultierende Kraft der Federkraft entsprechen.

Nach dem Hooke'schen Gesetz ist der Betrag der Federkraft proportional zur ersten Potenz der Auslenkung, solange die Kräfte und Verformungen klein genug sind. Aus diesem Grund wird das Feder-Masse-System als linearer harmonischer Oszillator bezeichnet.

Durch Ersetzen der Ausdrücke für Beschleunigung und Auslenkung im 2. Newtonschen Gesetz kann die Gleichung für die Winkelgeschwindigkeit erhalten werden.

Die Winkelgeschwindigkeit hängt nur von der Federkonstante und der Masse ab, nicht von der Amplitude. Sie ist auch mit der Periode der Schwingung nach folgender Beziehung verbunden:

Die Periode hängt ebenfalls nur von der Masse und der Federkonstante ab. Je größer die Masse, desto länger die Periode. Je steifer die Feder, desto kürzer die Periode. Die Frequenz ist

Betrachten Sie einen Block mit der Masse m, der mit einer horizontalen Feder verbunden ist, die über einer reibungsfreien Oberfläche platziert ist.

Die Nettokraft auf den Block ist die Summe aus der Kraft aufgrund seines Gewichts, der Normalkraft und der Kraft aufgrund der Feder.

Da das Gewicht und die Normalkraft gleich groß und in entgegengesetzter Richtung sind, heben sie sich gegenseitig auf, und die Nettokraft wird gleich der Kraft, die durch die Feder entsteht.

Hier ist die Größe der Kraft proportional zur ersten Verschiebungspotenz. Aus diesem Grund wird das Feder-Masse-System als linearer einfacher harmonischer Oszillator bezeichnet.

Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz kann die Kraft in Form von Beschleunigung ausgedrückt werden.

Setzt man die Ausdrücke für Beschleunigung und Verschiebung ein, erhält man die Gleichung für die Kreisfrequenz

Die Kreisfrequenz wird auch als 2π über die Schwingungsperiode definiert.

Der Kehrwert der Periode ist auch die Schwingungsfrequenz.

Eine steife Feder erzeugt schnelle Schwingungen und eine kurze Periode. Im Vergleich dazu neigt ein schweres Objekt dazu, träge Schwingungen und eine große Periode zu erzeugen.