Eulers Formel für Spalten mit Pin-Enden

Stellen Sie sich eine Säule PQ vor, die an beiden Enden mit einem Bolzen verbunden ist und an Ende P eine zentrische Axiallast aufbringt. Knicken tritt auf, wenn diese Last die kritische Last überschreitet.

Um die kritische Last zu berechnen, stellen Sie sich die Stütze als vertikalen Balken vor. Betrachten wir nun einen Punkt O auf einer elastischen Kurve des Balkens in einem Abstand x vom freien Ende P und mit der Ablenkung y von der Vertikalen.

Das Biegemoment im Punkt O kann als zweite Ableitung seiner Ablenkung in Bezug auf den Abstand x geschrieben werden. Durch Umanordnen der Terme erhält man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, die eine Lösung in Form von Sinus- und Kosinusfunktionen ausdrückt.

Die erste Randbedingung erfordert, dass der Koeffizient B Null ist. Die zweite Bedingung erfordert, dass entweder Koeffizient A oder der Sinusterm Null ist.

Wenn man den Sinusterm auf Null setzt, erhält man den axialen Lastausdruck, wobei der niedrigste Wert die kritische Last ist; dies ist die Eulersche Formel.

Durch Einsetzen der Eulerschen Formel in die Differentialgleichung erhält man eine Gleichung für die elastische Kurve nach dem Knicken.