Partielle Ableitungen und Gasgesetze

Betrachten wir eine Fläche, die eine Funktion zweier Variablen x und y darstellt. Die partiellen Ableitungen geben die lokalen Steigungen der Fläche an, wenn sich eine Variable ändert, während die andere konstant bleibt.

Die partielle Ableitung der Funktion z in Bezug auf x bei konstantem y wird mit der Notation "curly d" dargestellt.

Für Funktionen zweier Variablen summiert das totale Differential alle partiellen Ableitungen, jeweils multipliziert mit der infinitesimalen Änderung der jeweiligen Variablen.

Stellen Sie sich nun einen Zylinder vor, der mit einem idealen Gas gefüllt ist. Mit dem idealen Gasgesetz kann die Druckänderung mit Temperatur bei konstantem Volumen und Anzahl der Mol berechnet werden.

Ein Ansatz besteht darin, das ideale Gasgesetz umzuordnen und dann beide Seiten durch die Temperatur zu differenzieren, wobei alle anderen Variablen konstant bleiben.

Diese partielle Ableitung kann auch aus der Steigung der Geraden berechnet werden, die durch Darstellung des Drucks eines idealen Gases bei verschiedenen Temperaturen, aber bei konstantem Volumen entsteht.

Allgemeiner gilt für drei durch eine Zustandsgleichung verknüpfte Variablen die drei partiellen Ableitungen, die jeweils mit einer konstanten Variable genommen werden, mit minus eins multipliziert, was die Eulers Kettenregel ist.