19.6
Lösung von Differenzengleichungen mithilfe der Z-Transformation
Die meisten praktischen zeitdiskreten Systeme können durch lineare Differenzengleichungen dargestellt werden, was die z-Transformation zu einem besonders nützlichen Werkzeug macht.
Die Kenntnis des Eingangssignals und der N Anfangsbedingungen ist notwendig, um eine Differenzengleichung n-ter Ordnung zu lösen.
Bei verzögerten oder fortgeschrittenen Signalen verschiebt die Z-Transformation das Signal im Z-Bereich, indem sie die Multiplikation des Kehrwerts von z bzw. z einschließt.
Betrachten Sie eine Differenzengleichung zweiter Ordnung, die durch spezifische Koeffizienten und Anfangsbedingungen gekennzeichnet ist. Der Eingang ist die Unit-Step-Funktion.
Unter Verwendung der z-Transformation jedes Terms verwandelt sich die Gleichung in einen algebraischen Ausdruck, der die Darstellung der Ein- und Ausgangssignale im z-Bereich beinhaltet.
Das Lösen dieser algebraischen Gleichung für das Ausgangssignal im z-Bereich liefert einen Ausdruck, der mit Hilfe der partiellen Bruchzerlegung vereinfacht werden kann.
Die Koeffizienten werden berechnet, und die Reaktion des Systems im Zeitbereich wird durch die inverse Z-Transformation des partiellen Bruchausdrucks gegeben.
Dieser Prozess demonstriert die Leistungsfähigkeit der Z-Transformation bei der Vereinfachung der Analyse und Lösung zeitdiskreter linearer Systeme, was sie zu einem unverzichtbaren Werkzeug in verschiedenen Bereichen der digitalen Signalverarbeitung und Steuerungssysteme macht.
Die Z-Transformation ist ein leistungsstarkes Werkzeug zur Analyse praktischer zeitdiskreter Systeme, die häufig durch lineare Differenzengleichungen…
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