Beziehung zwischen DFT und Z-Transformation

Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) analysiert den Frequenzgehalt von zeitdiskreten Signalen.

Es ordnet die N-abgetastete diskrete Zeitbereichssequenz ihrer diskreten Frequenzbereichssequenz zu, wobei k den Frequenzindex von 0 bis N minus eins darstellt.

Für eine zeitdiskrete Sequenz wird die z-Transformation definiert, indem die Sequenzterme mit den Potenzen des Kehrwerts von z multipliziert werden.

Betrachten Sie die Z-Transformation einer diskreten Sequenz. Für eine kausale Sequenz vereinfacht sich die z-Transformation zu einer endlichen Summe.

Durch Abtasten der Z-Transformation an gleichmäßig verteilten Punkten auf dem Einheitskreis, die durch komplexe Exponentialzahlen dargestellt werden, werden diese Werte in die Z-Transformation eingesetzt.

Der resultierende Ausdruck stimmt mit der Definition der DFT überein und zeigt, dass die DFT der Sequenz eine abgetastete Version ihrer Z-Transformation auf dem Einheitskreis ist.

Die DFT ist eine abgetastete Version der Z-Transformation, die an bestimmten Punkten auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene ausgewertet wird und Sequenzen im Zeitbereich mit ihren Darstellungen im Frequenzbereich verknüpft.

Dies zeigt, dass die DFT ein Sonderfall der Z-Transformation ist, die auf dem Einheitskreis ausgewertet wird.