Ableitungen von Polynom- und Exponentialfunktionen

Ableitungen definieren die Steigungen gerader Linien oder die Steigungen der Tangenten, die zu den Kurven gezogen werden.

Betrachten wir eine Achterbahn: Die Steigung ihres Weges an einem bestimmten Punkt entspricht der Ableitung der Funktion, die diesen Weg beschreibt.

Für den horizontalen Pfad einer Achterbahn kann die Funktion als Konstante angenähert werden. Da die Ableitung einer Konstanten immer null ist, ist die Steigung des Weges null.

Ist der Weg in einem Winkel von 45 Grad geneigt, kann er durch eine lineare Funktion angenähert werden. Die Ableitung dieser Funktion ist eins und zeigt eine konstante Steigung.

Aber die meisten geneigten Wege verlaufen nicht in einem 45-Grad-Winkel. Sie werden unterschiedlich skaliert, wobei der Pfad als konstanter Koeffizient multipliziert mit x modelliert werden kann. Die Ableitung der Funktion ist dieselbe Konstante und zeigt eine einheitliche Steigung.

Für einen gekrümmten Pfad, der durch eine Polynomfunktion approximiert werden kann, wird die Steigung an jedem Punkt durch die Ableitung der Funktion gegeben. Dies wird mit der Potenzregel gefunden: Multipliziere mit dem Exponenten und reduziere den Exponenten um eins.

Wenn ein Weg durch eine Exponentialfunktion approximiert werden kann, so ist die Steigung der Tangente an einem beliebigen Punkt durch seine Ableitung an diesem Punkt gegeben, die proportional zur Funktion selbst ist.