Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Stellen Sie sich ein Riesenrad vor, das sich mit konstanter Geschwindigkeit dreht. Die vertikale Höhe eines Punktes an seiner Kante ändert sich im Laufe der Zeit sanft und folgt einer Sinuswelle.

Die Höhenänderungsrate des Fahrers variiert ebenfalls gleichmäßig und zyklisch, wie eine andere Welle. Diese Änderungsrate entspricht der Ableitung der Sinusfunktion.

Um die Ableitung von Sinus x zu finden, beginnt man mit der Grenzdefinition einer Ableitung und wendet sie auf den Sinus x an.

Zuerst wird der Sinus von (x + h) mit der Additionsformel erweitert. Dann ordne die Terme neu und faktorisiere den Sinus x und den Kosinus x heraus.

Wenn h sich Null nähert, nähert sich Kosinus h minus 1 über h Null, und Sinus h über h nähert sich 1.

Das Einsetzen dieser Grenzwerte zeigt, dass die Ableitung von Sinus x Cosinus x ist.

Der gleiche Ansatz zeigt, dass die Ableitung von Cosinus x minus Sinus x ist.

Da die Tangentialfunktion das Verhältnis von Sinus zu Kosin ist, wenden Sie zur Bestimmung der Ableitung die Quotientenregel an. Setzt man nun die Werte der Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktionen ein und vereinfacht mit trigonometrischen Identitäten, erhält man die Ableitung der Tangente als Sekantenquadrat.