Grenzwerte trigonometrischer Funktionen

Ein fundamentaler trigonometrischer Grenzwert ist der Grenzwert der Sinus-Theta geteilt durch Theta, wenn Theta sich Null nähert, was gleich eins ist.

Zur Visualisierung betrachten wir einen Einheitskreis und einen kleinen Theta-Winkel, gemessen von der positiven x-Achse.

Ein Bogen, der diesem Winkel entspricht, wird gezeichnet. Für einen Einheitskreis entspricht die Bogenlänge numerisch dem Winkel in Radianten.

Eine vertikale Linie wird vom Endpunkt des Bogens bis zur x-Achse konstruiert. Dieses Liniensegment stellt den Sinus der Theta dar. Da die Gerade BC immer kleiner als der Bogen AB ist, wird eine Relation Sinustheta über Theta kleiner als eins abgeleitet.

Der Radius wird vom Zentrum O bis Punkt B verlängert, bis er die Tangentiallinie an Punkt A an Punkt D schneidet. Die Länge des Linienabschnitts AD repräsentiert Tan Theta. Geometrisch ist die Bogenlänge Theta kleiner als die Länge des Tangentialsegments AD, was in Bezug auf Sinus- und Kosinustheta umgeschrieben werden kann.

Mit beiden Relationen wird die Ungleichung abgeleitet. Wenn Theta sich Null nähert, konvergieren die Outerbound-Werte zu Eins. Da das Verhältnis von Sinus zu Theta zwischen ihnen liegt, nähert es sich ebenfalls einem an.