Logarithmische Differentiation

Wenn das Gewicht und die Fahrkräfte eines Autos auf einen Reifen wirken, üben sie eine externe Last aus. Der Reifengummi widersteht dieser Last durch innere Kräfte, die über sein Material verteilt sind; Dieser innere Widerstand nennt man Spannung.

Spannung führt dazu, dass der Reifengummi die Form ändert, und diese Verformung wird als Dehnung gemessen.

Die nichtlineare Beziehung zwischen Spannung und Dehnung im Kautschuk wird durch eine mathematische Näherung unter idealisierten Bedingungen gegeben, wobei G den Schermodul anzeigt, der den Verformungswiderstand des Materials charakterisiert.

Spannung kann als Funktion der Dehnung gemäß folgender Gleichung ausgedrückt werden. Um diese sich verändernde Beziehung zu analysieren, wird Differenzierung verwendet.

Standard-Differenzierungsregeln werden schwer anzuwenden, wenn sowohl Basis als auch Exponent Variablen enthalten. Die logarithmische Differentiation vereinfacht den Prozess durch Umstrukturierung der Gleichung.

Die Verwendung des natürlichen Logarithmus zerlegt den Ausdruck in kleinere Begriffe, was die Differenzierung leichter macht.

Die Unterscheidung beider Seiten mittels der Produkt- und Kettenregeln erfasst die Änderung der Spannung als Funktion der Dehnung. Setzt man die ursprüngliche Funktion wieder in die differenzierte Form ein, erhält man die Änderungsrate der Spannung im Autoreifen.