Absolute und lokale Extremwerte

Der Extremwertsatz garantiert die Existenz sowohl eines absoluten Maximums als auch eines absoluten Minimums für jede kontinuierliche Funktion, die über einem abgeschlossenen Intervall definiert ist.

Diese Werte können dort gefunden werden, wo die Ableitung null, undefiniert oder an den Endpunkten des Intervalls liegt.

Betrachten Sie, wie sich die Temperatur über einen Tag hinweg verändert, modelliert als kontinuierliche Funktion über ein geschlossenes Intervall. Die höchsten und niedrigsten Temperaturen werden als absolutes Maximum und absolutes Minimum oder Extremwerte bezeichnet. Diese Werte helfen dabei, das Wetter des Tages zusammenzufassen.

Über einen kürzeren Zeitraum ist eine Temperatur, die höher oder niedriger als nahegelegene Werte ist, ein lokales Maximum oder Minimum.

Betrachten wir nun eine andere Funktion, die beschreibt, wie sich die Spannung in einem Wechselstrom ändert. Sie kann über die Zeit als Sinusfunktion modelliert werden. Die Spannung steigt und fällt in einem sich wiederholenden Muster, wodurch mehrere Punkte entstehen, an denen die Steigung null ist. Diese Punkte sind lokale Maxima und Minima. Über ein abgeschlossenes Intervall, wie etwa einen Zyklus, sind die höchsten und niedrigsten dieser Werte die absoluten Extremen. Diese Extrema definieren den sicheren Betriebsbereich für Schaltungen.