Kritische Stellen und die Methode der geschlossenen Intervalle

Zu bestimmen, wo eine Funktion ihre höchsten oder niedrigsten Werte erreicht, hilft, ihr Gesamtverhalten zu beschreiben. Diese Werte zu identifizieren ist wie das Finden von Gipfeln und Tälern entlang eines Wanderwegs.

Eine Funktion kann diese Werte bei Zahlen erreichen, bei denen ihre Ableitung null oder undefiniert ist. Diese Zahlen werden kritische Zahlen genannt – Zahlen im Definitionsbereich, in dem die Ableitung null oder undefiniert ist.

Nach dem Satz von Fermat gilt: Wenn eine Funktion an einer Zahl ein lokales Maximum oder Minimum hat und die Ableitung dort existiert, dann muss die Ableitung null sein.

Das bedeutet, dass lokale Extrema immer bei kritischen Zahlen auftreten, obwohl nicht jede kritische Zahl einem Extremum entspricht.

Einige Funktionen haben scharfe Ecken, in denen die Ableitung undefiniert ist, dennoch kann ein lokales Extremum vorhanden sein.

Um die absolut höchsten oder niedrigsten Werte über einem geschlossenen Intervall zu finden, wird die Methode des geschlossenen Intervalls verwendet. Dies umfasst drei Schritte: Identifizierung kritischer Zahlen im offenen Intervall, Bewertung der Funktion an diesen Zahlen und auch an den Endpunkten. Das größte und das kleinste dieser Ergebnisse ergeben das absolute Maximum und Minimum.