Erste Ableitung und die Form eines Funktionsgraphen

Die Form eines Graphen – ob er steigt, fällt oder abflacht – hängt von seiner ersten Ableitung ab. Die erste Ableitung gibt die Steigung der Tangentiallinie an einem beliebigen Punkt auf einem Graphen an.

Eine positive Ableitung bedeutet, dass die Funktion steigt und der Graph nach oben steigt. Eine negative Ableitung bedeutet, dass sie abnimmt und der Graph abfällt.

Wenn die Ableitung null oder undefiniert ist, nennt man den Punkt kritischen Punkt. Diese Punkte markieren Orte, an denen sich die Funktion von steigend zu abnehmend oder umgekehrt ändern kann.

Sie unterteilen den Definitionsbereich in Intervalle, in denen der erste Ableitungstest verwendet werden kann, um das Verhalten der Funktion zu bestimmen.

Ist die Ableitung vor einem kritischen Punkt positiv und danach negativ, erreicht die Funktion ein lokales Maximum. Ist die Ableitung vor dem kritischen Punkt negativ und danach positiv, erreicht die Funktion ein lokales Minimum. Wenn sich das Vorzeichen nicht ändert, ist der Punkt weder ein Maximum noch ein Minimum.

Erstens helfen Derivate auch, die Ausbreitung von Krankheiten zu untersuchen. Ein positives Derivat zeigt zu diesem Zeitpunkt steigende Fälle, während ein negatives Derivat fallende Fälle und eine Verlangsamung des Spreads zeigt.