Quadratische Gleichungen im komplexen Zahlensystem

Quadratische Gleichungen, in denen die Diskriminante — der Ausdruck unter der Quadratwurzel in der quadratischen Formel — einen negativen Wert hat, haben keine wirklichen Lösungen.

Um diese zu lösen, wird das Zahlensystem um komplexe Zahlen erweitert, wobei die imaginäre Einheit i verwendet wird, die als Quadratwurzel einer negativen Eins definiert ist.

Die Diskriminante bestimmt die Art der Lösung; Eine positive Diskriminante ergibt zwei ungleiche reale Lösungen.

Eine Diskriminante von Null ergibt eine wiederholte reelle Lösung, was bedeutet, dass beide Lösungen aus der quadratischen Formel gleich sind.

Eine negative Diskriminante ergibt zwei komplexe Lösungen: nicht-reelle und komplexe Konjugate, d.h. komplexe Zahlenpaare mit gleichen Realteilen und Imaginärteile mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Ein Beispiel für eine solche quadratische Gleichung hat Lösungen, die die imaginäre Einheit i enthalten, die sich aus einer negativen Diskriminante ergibt.

Das Einsetzen dieser komplexen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ergibt auf beiden Seiten die gleichen Werte, was ihre Gültigkeit bestätigt.

Stellen Sie sich ein Rechteck mit einem Umfang von 20 cm und einer Fläche von 30 cm² vor. Wenn Sie die Umfangsgleichung in den Flächenausdruck einfügen, erhalten Sie eine quadratische Gleichung mit einer negativen Diskriminante, die zu komplexen Wurzeln führt, was zeigt, dass kein echtes Rechteck existieren kann.