Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen sind mathematische Gleichungen, in denen die Variable innerhalb einer Wurzel vorkommt, z. B. einer Quadratwurzel, einer Kubikwurzel oder einer vierten Wurzel.

Um sie zu lösen, muss das Radikal eliminiert werden, indem beide Seiten der Gleichung auf eine Potenz angehoben werden, die dem Index des Radikals entspricht.

Zum Beispiel ist die Berechnung der Tiefe eines Bohrlochs, indem man ein Objekt fallen lässt und die Zeit misst, bis das Plätschern zu hören ist, eine praktische Anwendung einer radikalen Gleichung.

Hier umfasst die Gesamtzeit die Fallzeit, gegeben durch die Quadratwurzel der doppelten Tiefe über der Gravitationsbeschleunigung, und die Schalllaufzeit, gegeben durch die Tiefe über die Schallgeschwindigkeit, wodurch eine Radikalgleichung gebildet wird.

Der erste Schritt besteht darin, den Radikalterm zu isolieren und dann beide Seiten zu quadrieren, um die Quadratwurzel zu eliminieren.

In diesem Schritt wird die Radikalgleichung in eine quadratische Standardgleichung umgewandelt, die weiter vereinfacht werden kann. Zur Lösung wird die quadratische Formel angewendet, die zwei mögliche Werte für die Tiefe ergibt.

Jede Lösung wird wieder in die ursprüngliche Wurzelgleichung eingesetzt, um zu prüfen, ob sie die Gleichung wirklich erfüllt oder ob es sich um eine fremde Wurzel handelt.

Nur eine Lösung liefert eine gültige, positive Zahl für die Tiefe, die bestätigt, dass sie die richtige Lösung ist.