9.6
Hyperbeln
Eine Hyperbel entsteht, wenn eine Ebene beide Decken eines Kegels durchschneidet und so zwei offene Kurven erzeugt, die als Äste bezeichnet werden.
Die Äste erstrecken sich entlang der Querachse der Länge 2a, wobei a der Abstand vom Mittelpunkt zu jedem Eckpunkt ist.
Senkrecht dazu liegt die konjugierte Achse mit der Länge 2b, die ein Rechteck mit den Maßen 2a x 2b definiert, dessen Diagonalen sich als Asymptoten nach außen erstrecken, die die Äste führen, aber nie schneiden.
Eine Hyperbel ist definiert als die Menge von Punkten, bei denen die absolute Differenz der Abstände zu zwei Fixpunkten, den sogenannten Brennpunkten, konstant und gleich 2a ist.
Die Brennpunkte werden entlang der x-Achse bei minus c und plus c platziert, wobei c der Abstand vom Mittelpunkt zu jedem Fokus ist.
Die Anwendung der Abstandsformel zwischen Punkt P und jedem Fokus führt zu Ausdrücken, die beim Quadratieren die Quadratwurzeln entfernen. Der quadrierte Term wird dann erweitert, gefolgt von algebraischen Vereinfachungen.
Durch weiteres Quadrieren und Vereinfachen wird das verbleibende Radikal eliminiert. Wenn man dann die Beziehung b zum Quadrat gleich c zum Quadrat minus a zum Quadrat einsetzt – eine Form des Satzes des Pythagoras – erhält man die Standardgleichung.
Hyperbolische Formen werden in Kühltürmen verwendet, da ihre Form die Festigkeit und den Luftstrom verbessert.
Eine Hyperbel ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn ein Doppelkegel von einer Ebene in einem Winkel geschnitten wird, der steiler ist als die Erzeu…
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