Polargleichungen von Kegelschnitten

Ein Kegelschnitt ist die Menge von Punkten, für die das Verhältnis des Abstands zu einem festen Punkt, dem sogenannten Fokus, und einer festen Linie, der sogenannten Directrix, konstant ist.

Dieses Verhältnis wird als Exzentrizität bezeichnet und bestimmt die Form des Kegels: eine Ellipse, wenn zwischen Null und Eins, eine Parabel, wenn eins, und eine Hyperbel, wenn größer als eins.

Wenn der Fokus am Ursprung in Polarkoordinaten liegt, beschreibt eine einzelne polare Gleichung alle Kegelschnitte unter Verwendung des radialen Abstands, des Polarwinkels, der Exzentrizität und des Abstands zur Direktrix.

Wenn die Directrix vertikal ist, verwendet die Gleichung den Kosinus, der die horizontale Verschiebung in polarer Form misst.

Eine Richtungsrichtung rechts vom Fokus ergibt ein Pluszeichen, während eine Richtung links ein Minuszeichen darstellt, das die Position entlang der positiven oder negativen horizontalen Achse anzeigt.

Wenn die Directrix horizontal ist, verwendet die Gleichung den Sinus, der die vertikale Verschiebung in polarer Form misst.

Eine Richtungsachse über dem Fokus ergibt ein Pluszeichen, während eine darunter ein Minuszeichen ergibt, das anzeigt, ob sich die Richtungsachse auf der positiven oder negativen vertikalen Achse befindet.

Polargleichungen von Kegelschnitten helfen auch bei der Konstruktion von Kuppeln, indem sie Kurven definieren, die die strukturellen Lasten gleichmäßig verteilen.