Stetigkeit einer Funktion

Stellen Sie sich einen Weg vor, auf dem sich ein Auto bewegt. Wenn der Pfad durch die Kurve einer Funktion beschrieben wird, kann die Position des Autos zu jedem Zeitpunkt mit dem Konzept eines Limits verstanden werden, da sich die x-Werte einem Punkt auf der Kurve nähern.

Während sich das Auto entlang der Kurve bewegt, deutet die sanfte Bewegung – d. h. keine Pausen oder Sprünge auf dem Weg – darauf hin, dass die Funktion kontinuierlich ist.

Wenn sich zwei Punkte aus entgegengesetzten Richtungen dem gleichen Punkt auf der Kurve nähern und sich glatt treffen, bedeutet dies, dass die Funktion an diesem Punkt kontinuierlich ist.

Eine Kurve kann an einem Punkt, an dem die Funktion nicht definiert ist, eine Diskontinuität aufweisen, z. B. wenn eine Division durch Null erfolgt. Wenn x sich 1 nähert, nähern sich die Ausgänge 2. Da diese Grenze existiert, ist die Diskontinuität entfernbar, und die Funktion kann an dieser Stelle neu definiert werden, um sie kontinuierlich zu machen.

Wenn die Grenzwerte für die linke und rechte Hand an einem Punkt nicht übereinstimmen, weist die Funktion an dieser Stelle eine Diskontinuität auf.

Eine Kurve, die unendlich nach oben oder unten schießt, ohne eine vertikale Linie zu berühren, zeigt eine vertikale Asymptote.

Plötzliche Sprünge in einer stückweisen Funktion markieren Punkte, an denen die Kontinuität unterbrochen wird. Diese werden als Sprungdiskontinuitäten bezeichnet.