Höhere Ableitungen

Ein Motorrad startet aus dem Stillstand und bewegt sich geradeaus. Seine Position ändert sich im Laufe der Zeit, beschrieben durch eine Positionsfunktion.

Da sich die Position mit der Zeit ändert, ergibt die Steigung des Diagramms die Geschwindigkeit – die Änderungsrate der Position, die die erste Ableitung der Position ist. Dieser Wert sieht man auf dem Tacho.

Wenn sich die Geschwindigkeit mit der Zeit ändert, entweder durch Beschleunigung oder Verlangsamung, nennt man diese Änderung Beschleunigung – die zweite Ableitung der Position. Ein linearer Anstieg der Geschwindigkeit führt zu positiver Beschleunigung, eine Abnahme zu negativer Beschleunigung.

Auch die Beschleunigung kann variieren. Ein schneller Gasdreh oder plötzliches Bremsen ändert abrupt die Kontrolle. Diese Änderungsrate der Beschleunigung wird Jerk genannt – die dritte Ableitung der Position. Jerk beschreibt, wie sich die Beschleunigung allmählich oder abrupt verändert.

Diese Ableitungen bilden eine Hierarchie: Position gibt den Standort an, Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeitsänderung, Beschleunigung die Geschwindigkeitsänderungsrate und Jerk die Beschleunigungsänderungsrate. Im Alltag wird Bewegung hauptsächlich durch Geschwindigkeit und Beschleunigung beschrieben.

Wenn jedoch hochpräzise Tempomat benötigt wird, werden auch höherwertige Ableitungen wie Jerk berücksichtigt.