Integrale von Potenzen des Tangens und der Sekans

Integrale, die Tangential- und Sekantenpotenzen enthalten, können mittels Substitution gelöst werden, und der Ansatz hängt davon ab, ob die Potenz der Sekante gerade oder die Tangentialpotenz ungerade ist.

Wenn die Potenz der Sekant gerade ist, wähle Tangente als neue Variable, da ihre Ableitung das Sekantenquadrat ist, das herausfaktorisiert werden kann.

Die verbleibende gerade Potenz der Sekante kann dann vollständig in Tangentialterme umgewandelt werden, indem die Identität verwendet wird, die das Sekantenquadrat mit dem Tangentialquadrat verbindet.

Diese Substitution verwandelt das Integral in ein Polynom, das dann integriert und wieder in die ursprüngliche Variable umgewandelt wird.

Ist die Tangentenpotenz ungerade, wird eine ähnliche Methode verwendet. Sei Sekant die neue Variable, da ihre Ableitung Sekante mal Tangente herausfaktorisiert werden kann.

Verwenden Sie eine trigonometrische Identität, um die verbleibende gerade Potenz der Tangente in Bezug auf Sekante umzuschreiben.

Nach der Substitution wird das Integral zu einem Polynomausdruck, der direkt integriert werden kann.

Schließlich wird das Ergebnis wieder in die ursprüngliche trigonometrische Funktion umgewandelt, um die Lö