Rationalisierende Substitutionen

Ein Integral mit einer nicht-rationalen Funktion ist mit Standardmethoden schwer zu bewerten.

Betrachten wir einen Stab mit der linearen Massendichte, die in Bezug auf konstante lineare Dichte, eine charakteristische Länge und den Abstand von der linken Seite gegeben ist.

Ziel ist es, die Masse des Stabs zu bestimmen, was die Integration dieser Dichtefunktion über die Länge des Stabs erfordert.

Die Würfelwurzeln verkomplizieren das Integral, daher wird eine rationalisierende Substitution hilfreich.

Durch die Einführung einer neuen Variablen u, definiert als u gleich der Würfelwurzel von x, wird der Ausdruck in eine rationale Form umgewandelt. Daraus kann x als Würfel von u genommen werden, und die differentielle dx folgt entsprechend. Die Integrationsgrenzen werden an die neue Variable angepasst.

Setzt man diese Ausdrücke ins Integral ein, erhält man eine Gleichung, die vollständig in Abhängigkeit von u geschrieben ist. Nachdem die Annahmen getroffen wurden, vereinfacht sich das Integral zu einer einfachen Polynomform.

Dieses transformierte Integral ist handhabbarer, und die polynomielle Langdivision hilft, die resultierende rationale Funktion zu vereinfachen.

Nach der Umschreibung des Ausdrucks in Abhängigkeit von u ergibt die Auswertung des Integrals mit den aktualisierten Grenzwerten die Gesamtmasse des Stabs.

Auf diese Weise wird das Integral durch rationalisierende Substitution gelöst.