Mittelpunkt- und Trapezregel

Stellen Sie sich einen LKW vor, der auf einer Autobahn fährt. Um die Entfernung zu bestimmen, die es während eines gegebenen Zeitintervalls t zurücklegt, sucht man die Fläche unter seinem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen.

Da die Geschwindigkeit des Lastwagens zu diskreten Zeitpunkten bekannt ist, kann dieser Bereich nicht präzise berechnet werden. Stattdessen wird die Fläche mit der trapezförmigen Regel angenähert. Dazu teilen Sie das gesamte Zeitintervall in n gleich große Teilintervalle, jeweils mit einer Breite von Δt.

Bei dieser Methode sind die beiden Endpunkte jedes Teilintervalls durch eine gerade Linie verbunden, wodurch Trapezforme entstehen.

Für ein gegebenes Teilintervall, das zwei vertikale Seiten hat, die die Geschwindigkeiten repräsentieren, und eine horizontale Basis für die Zeitbreite, ist die Fläche dieses Trapezs der Durchschnitt der Längen seiner beiden vertikalen Seiten multipliziert mit der horizontalen Entfernung.

Addiert man die Flächen aller n Trapeze, erhält man eine Annäherung an die Verschiebung.

Nach algebraischen Manipulationen und dem Lösen dieser Summe erscheinen die erste und letzte Geschwindigkeit einmal, während innere Geschwindigkeiten doppelt erscheinen, da jede zu zwei Trapezen gehört.

Nach der Kombination ähnlicher Terme nähert sich der resultierende Ausdruck der Gesamtverschiebung über das angegebene Zeitintervall.