Anwendungen der Integration zur Bestimmung der Massenschwerpunkte

Betrachten Sie ein Brett, das auf einem Pivot mit zwei ungleichen Massen balanciert ist. Das System erreicht das Rotationsgleichgewicht, wenn das Nettodrehmoment null ist.

Drehmoment ist die Kraft mal die Entfernung vom Drehpunkt. Im Rotationsgleichgewicht ist der Pivot mit dem Schwerpunkt des Systems ausgerichtet.

Für mehrere diskrete Massen entspricht der Schwerpunkt der Summe der Momente – definiert als Masse mal Position – die durch jede Masse geteilt durch die Gesamtmasse verursacht werden.

Dieses Konzept gilt auch für ein kontinuierliches System, wie etwa einen dünnen Stab, der als eindimensionales Objekt mit linearer Massendichte behandelt wird. Der Schwerpunkt ergibt sich aus dem Verhältnis des Gesamtmoments der Stange zu ihrer Gesamtmasse.

Hier wird der Stab als aus einer unendlichen Anzahl von Elementen mit kleiner Masse zusammengesetzt. Jedes kleine Element hat eine Masse, die der linearen Dichte multipliziert mit einer winzigen Länge entspricht.

Das Moment jedes Elements entspricht seinem Abstand zu einem der Enden des Stabs, multipliziert mit seiner kleinen Masse.

Um das Gesamtmoment des Stabs zu berechnen, werden diese kleinen elementaren Momente mit einer Riemannschen Summ