Satz von Pappus

Pappus' Satz für das Volumen verbindet die Geometrie eines ebenen Bereichs mit dem Volumen seines Rotationskörpers, ohne Integrationstechniken wie die Scheibenmethode anzuwenden.

Der Satz besagt, dass, wenn sich ein ebener Bereich mit einem bekannten Schwerpunkt um eine Achse rotiert, das resultierende Volumen der Fläche des Bereichs multipliziert mit der Distanz, die sein Schwerpunkt entlang des kreisförmigen Weges zurückgelegt hat.

Betrachten wir zum Beispiel eine dreidimensionale Form, die wie ein Donut aussieht, genannt Torus. Sie entsteht, indem ein Kreis mit Radius r um eine Gerade in ihrer Ebene gedreht wird, die den Kreis nicht schneidet.

Dieser kreisförmige Querschnitt erzeugt den Festkörper während der Rotation.

Der Schwerpunkt des Kreises liegt in einem Abstand R von der Rotationsachse.

Während sich der Kreis rotiert, folgt sein Schwerpunkt einem kreisförmigen Weg mit einer Länge, die seinem Umfang entspricht.

Mit Hilfe des Theorems wird das Volumen des Torus ermittelt, indem man die Querschnittsfläche mit der vom Schwerpunkt zurückgelegten Distanz multipliziert.

Ein praktisches Beispiel ist die Verwendung von toroidalen Tanks zur Lagerung von Treibstoff in engen Räumen. Der Satz von Pappus verwendet die Fläche und die Weglänge des Schwerpunkts, um das Volumen zu bestimmen, was hilft, die verfügbare Treibstoffkapazität darzustellen.