Anwendungen der Integration auf Normalverteilungen

Standardisierte Testergebnisse folgen oft einem vorhersehbaren Muster – dieses Verständnis hilft, die Leistung fair zu interpretieren. In einem Histogramm zeigen Balken Wertbereiche an, und ihre Breiten werden als Bins bezeichnet. Mit zunehmender Anzahl der Datenpunkte und der Verengung der Bins beginnen sich die Balken zu glätten. Teilt man die Anzahl der Vorkommen durch die Gesamtanzahl und die Bin-Breite, wird die vertikale Achse zur Wahrscheinlichkeitsdichte geändert. Diese Änderung erzeugt eine stetige Kurve, die durch die Normalverteilung modelliert wird.

Die Kurve ist um den Mittelwert zentriert, also den Durchschnittswert. Hier erreicht die Kurve ihren Höhepunkt und ist auf beiden Seiten gleichmäßig ausbalanciert.

Die Standardabweichung misst, wie stark die Werte vom Mittelwert abweichen.

Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Scores eng gruppiert sind; eine größere bedeutet, dass sie weiter verstreut sind.

Die Form der Kurve folgt einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die den Mittelwert, die Standardabweichung und einen Exponentialausdruck verwendet.

Die Fläche unter dieser Kurve über einen Punktbereich stellt die Wahrscheinlichkeit dar.

Wenn die Kurve über alle möglichen Werte integriert wird, addiert sie die Wahrscheinlichkeiten für jedes mögliche Ergebnis. Das Ergebnis ist eins, also 100 Prozent, weil alle Möglichkeiten berücksichtigt werden.