Einführung in Differentialgleichungen

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion und eine oder mehrere ihrer Ableitungen enthält. Die Ordnung einer Differentialgleichung wird durch die in der Gleichung vorhandene Ableitung höchster Ordnung gegeben.

Wenn die Gleichung nur die erste Ableitung umfasst, nennt man sie erste Ordnung. Wenn sie die zweite Ableitung beinhaltet, nennt man sie zweite Ordnung, und so weiter.

Zum Beispiel kann ein Feder-Massen-System als einfacher harmonischer Oszillator modelliert werden, der die Nettokraft auf die Masse und die Wiederherstellungskraft in der Feder gleichsetzt, wie sie durch das Hooke-Gesetz für lineare Federn beschrieben wird.

Die Federkraft wirkt in entgegengesetzte Richtung zur Verschiebung und ist proportional dazu, wie weit sich die Masse von ihrer Gleichgewichtsposition entfernt.

Newtons zweites Gesetz verbindet die Nettokraft auf die Masse mit ihrer Beschleunigung. Die Kombination dieser beiden Beziehungen ergibt eine Gleichung, in der Masse mal Beschleunigung einer negativen Konstanten mal Verschiebung entspricht.

Indem die Beschleunigung als zweite Ableitung der Verschiebung über die Zeit umgeschrieben wird, erhält man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Diese zweite Ableitung verbindet die Bewegung des Systems mit einer Differentialgleichung.