Modellierung mit Differentialgleichungen

Die Modellierung des Bevölkerungswachstums mit Differentialgleichungen verbindet Annahmen darüber, wie sich Populationen im Laufe der Zeit verändern. Angenommen unbegrenzte Ressourcen ist die Bevölkerungswachstumsrate proportional zu ihrer Größe.

Die Übersetzung dieser Annahme in eine Gleichung ergibt eine Differentialgleichung erster Ordnung mit einer exponentiellen Lösung.

In Wirklichkeit sind Ressourcen wie Nahrung, Wasser, Unterkunft und Energie begrenzt, was das Bevölkerungswachstum auf eine maximal nachhaltige Größe beschränkt, die als Tragfähigkeit M bezeichnet wird .

Wenn die Bevölkerung kleiner als M ist, sind die Ressourcen ausreichend und das Wachstum erfolgt in Richtung M. Übersteigt sie M, führen Engpässe zu höheren Todesraten oder Migration, was die Bevölkerung verringert.

Um diese Trends zu modellieren, werden zwei Annahmen getroffen: Erstens ist für einen kleinen P(t)-Wert die Wachstumsrate proportional zu P(t), und zweitens, wenn P(t) M, beginnt die Population zu schrumpfen.

Die Kombination dieser Annahmen ergibt das logistische Wachstumsmodell. Die Wachstumsrate ist proportional zur aktuellen Populationsgröße P(t) und zur Differenz zwischen der Tragfähigkeit M und P(t), die auch allgemein ausgedrückt werden kann.