Orthogonale Trajektorien

Im Elektromagnetismus stehen elektrische Feldlinien – die die Richtung der elektrischen Kraft darstellen – stets senkrecht zu Äquipotentiallinien, entlang derer die potenzielle Energie konstant bleibt.

Diese beiden Liniensätze schneiden sich im rechten Winkel und bilden orthogonale Trajektorien.

Um das Konzept mathematisch zu verstehen, betrachten wir eine Familie von Parabeln, die sich entlang der x-Achse öffnen, geschrieben als x = ky², wobei k eine Konstante ist.

Differenziert man die Gleichung bezüglich x, erhält man die Steigung der Tangente an jedem Punkt auf einer Parabel.

Um das Ergebnis für alle Mitglieder der Familie zu verallgemeinern, ergibt das Eliminieren von k eine Steigung, die in Abhängigkeit von x und y ausgedrückt wird.

Die senkrechte Richtung zu dieser Steigung wird durch den negativen Reziproken gegeben.

Das Einsetzen von y/2x in den Steigungsausdruck und die Neuanordnung ergibt die Gleichung für die orthogonalen Trajektorien der Parabeln

Die Integration dieser Gleichung ergibt einen allgemeinen Ausdruck, der eine Familie von Ellipsen zeigt, die im Ursprung zentriert sind.

Diese Ellipsen schneiden die Parabeln im rechten Winkel und spiegeln die Art wider, wie elektrische Feldlinien in realen physikalischen Systemen Äquipotentialflächen schneiden.