Raumzeitliche Analyse gekoppelter thermo-photoelastischer Felder in anisotropem, faserverstärktem Silizium mittels einer Eigenwertmethode

Zusammenfassung

Diese Studie analysiert gekoppelte thermo-photoelastische Felder in anisotropem, faserverstärktem Silizium mittels einer Normalmodus- und Eigenwertmethode. Die Ergebnisse zeigen räumlichen Zerfall und zeitabhängige Feldentwicklung mit hoher Empfindlichkeit gegenüber Anisotropie. Heatmaps veranschaulichen die Feldverteilung und -lokalisierung.

Zusammenfassung

Diese Studie untersucht ein gekoppeltes thermo-photoelastisches System in einem anisotropen, faserverstärkten Siliziumhalbleitermedium mit dem Ziel, die Wechselwirkung zwischen thermischen, Träger- und mechanischen Feldern zu erfassen. Solche anisotropen, faserverstärkten Materialien spielen eine entscheidende Rolle in modernen technischen Anwendungen, darunter mikroelektronische und optoelektronische Bauelemente, laserbasierte Technologien, Sensoren und fortschrittliche Verbundstrukturen, bei denen gerichtete Eigenschaften und verbesserte mechanische Leistung erforderlich sind. Sie sind besonders wichtig bei der Konstruktion von Halbleiterkomponenten, die thermischen und optischen Belastungen ausgesetzt sind, wobei eine genaue Vorhersage des gekoppelten Feldverhaltens für Zuverlässigkeit und Leistungsoptimierung unerlässlich ist. Die leitenden Gleichungen werden auf Basis des gekoppelten physikalischen Modells formuliert und anschließend dimensionslos umgewandelt, um die Analyse zu vereinfachen und den relativen Einfluss der beteiligten Parameter hervorzuheben. Das Problem wird mit einer Normalmodustechnik gelöst und auf ein Differentialsystem erster Stufe reduziert, gefolgt von einem Eigenwertansatz, um analytische Lösungen zu erhalten, die die auferlegten Randbedingungen innerhalb eines halbunendlichen Definitionsbereichs erfüllen. Numerische Analysen werden durchgeführt, um den Einfluss von Zeitvariationen auf alle physikalischen Felder zu untersuchen, wobei eine starke räumliche Abschwächung und gekoppeltes Verhalten durch Anisotropie und Faserverstärkung aufgezeigt wird. Raumzeitliche Heatmap-Darstellungen werden verwendet, um die Entwicklung und Lokalisierung der Felder zu visualisieren, wodurch physische Einblicke in die multiphysikalischen Wechselwirkungen erhalten und die Wirksamkeit des analytischen Ansatzes demonstriert wird.

Einleitung

Die Thermo-Photoelastizität hat sich als wichtiges multidisziplinäres Feld etabliert, das die Wechselwirkung zwischen thermischen, mechanischen und optischen Effekten in Halbleitermaterialien unter photothermischer Anregung beschreibt. Die Kopplung dieser Felder wird besonders in modernen Anwendungen mit Lasererwärmung und optischer Anregung bemerkenswert. So untersuchte Saeed¹ thermo-photoelastische Wechselwirkungen in Halbleitern mit hyperbolischen Zwei-Temperatur-Modellen und zeigte die Bedeutung thermischer Relaxationseffekte für die genaue Vorhersage des Systemverhaltens. Auch die thermomechanische Reaktion faserverstärkter Verbundwerkstoffe hat aufgrund ihrer verbesserten mechanischen Festigkeit und anisotropen Eigenschaften erhebliche Aufmerksamkeit erregt. Li und Lambros² analysierten das dynamische thermomechanische Verhalten solcher Verbundwerkstoffe und hoben deren Eignung für fortgeschrittene ingenieurtechnische Anwendungen hervor. Ähnlich untersuchten Kalkal et ^al.3 zweidimensionale (2D) Deformationen in rotierenden, funktional graduierten faserverstärkten Medien unter Magnetfeldern und zeigten den starken Einfluss von Anisotropie und äußeren Auswirkungen auf die Systemreaktion. Darüber hinaus untersuchten Pitarresi et ^al.4 die Rolle makroskopischer Heterogenität im thermoelastischen Verhalten und betonten die Notwendigkeit einer genauen Modellierung von Verbundwerkstoffen. Jüngste Entwicklungen haben diese Studien auf Halbleitermedien mit gekoppelten multiphysikalischen Effekten ausgeweitet. Mondal et ^al.5 untersuchten die Wellenausbreitung in verstärkten Halbleitern unter Berücksichtigung von Speicherantworten und Magnetfeldern und zeigten komplexe gekoppelte Wechselwirkungen auf. Experimentelle Studien, wie die von Akai et ^al.6, haben Ermüdungsschäden in faserverstärkten Verbundwerkstoffen mittels thermoelastischer Temperaturschwankungen untersucht und ihre praktische Bedeutung bestätigt. Darüber hinaus wurden mikromechanische Ansätze eingesetzt, um effektive thermoelastische Eigenschaften zu schätzen, wie Lu et ^al.7 demonstrierten. Auch der Einfluss äußerer Belastungen und Umweltbedingungen wurde umfassend untersucht. Barak und Dhankhar⁸ analysierten geneigte Belastungen in funktional abgestuften, faserverstärkten Medien, während Kundu und Kalkal⁹ photothermische Wechselwirkungen unter Gravitation und bewegten thermischen Lasten untersuchten. Chaudhary et ^al.10 untersuchten temperaturabhängige Eigenschaften mithilfe von Dual-Phase-Lag-Modellen, und Pandit et ^al.11 wandten fraktionierte Dehnungsmodelle an, um nicht-lokales Deformationsverhalten zu erfassen. Diese Studien unterstreichen die Bedeutung der Berücksichtigung realistischer Belastungen und Materialbedingungen in der thermoelastischen Analyse.

Dynamische und schwingungsbezogene Phänomene wurden auch in Halbleitersystemen untersucht. Song et ^al.12 untersuchten photothermische Schwingungen in Halbleiterstrukturen, während Mondal und Sur¹³ die Wellenausbreitung in orthotropen Medien mit Speichereffekten analysierten. Viskoelastische und mikrostrukturelle Effekte wurden von Abouelregal et ^al.14 betrachtet, und Rampen-Hitzeeffekte wurden von Hobiny et ^al.15 untersucht. Darüber hinaus wurden von Zenkour¹⁶ verallgemeinerte thermoelastische Modelle wie die Drei-Phasen-Verzögerungstheorie entwickelt, um die Vorhersagegenauigkeit zu verbessern. Fortschrittliche multiphysikalische Modelle, die elektromagnetische und mikropolare Effekte einbeziehen, haben das Verständnis des thermo-photoelastischen Verhaltens weiter verbessert. Al-Hazaemh et ^al.17 untersuchten die photo-elektromagneto-thermoelastische Anregung in rotierenden Halbleitermedien, während Nazir und Kumar¹⁸ mikropolare thermoelastische Wechselwirkungen analysierten. Song et ^al.19 untersuchten außerdem nicht-dissipative thermoelastische Wechselwirkungen, und Nasr sowie Abouelregal²⁰ untersuchten Lichtabsorptionsprozesse in Halbleitern mit Hohlräumen. Nichtlokale und fraktionierte Ordnungsmodelle haben eine entscheidende Rolle bei jüngsten Entwicklungen gespielt. Gupta et ^al.21 untersuchten die photothermale Anregung in nicht-lokalen porösen Medien, während Hobiny und Abbas²² die Wellenausbreitung fraktionierter Ordnung in Halbleitern analysierten. Hafed und Zenkour²³ untersuchten geneigte Belastungseffekte, und Oliinyk et ^al.24 untersuchten nichtstationäre thermo-photoelastische Effekte. Das funktional graduierte Halbleiterverhalten unter Laseranregung wurde ebenfalls von Awwad et ^al.25 untersucht, während Gupta et ^al.26 die thermo-piezo-photoelektrische Kopplung mit speicherabhängigen Modellen untersuchten. Klassische experimentelle Ansätze, die thermische und optische Techniken kombinieren, wurden von Greene und Patterson²⁷ sowie Barone und Patterson²⁸ etabliert und bieten zuverlässige Methoden zur Spannungsanalyse. Darüber hinaus entwickelten Kaur und Singh²⁹ nicht-lokale speicherabhängige Modelle für Halbleiterresonatoren, und Abbas et ^al.30 analysierten photothermische Wechselwirkungen mit variabler Wärmeleitfähigkeit. Experimentelle und numerische Untersuchungen verstärkter Verbundmembranen wurden von Lu et ^al.31 durchgeführt, während Purkait und Kanori³² Gedächtnisreaktionen in rotierenden faserverstärkten Medien untersuchten. Abo-Dahab et ^al.33 untersuchten die Wellenreflexion in faserverstärkten thermoelastischen Medien unter Belastungsbedingungen. In jüngerer Zeit wurden fortgeschrittene fraktionierte und nichtlokale thermoelastische Modelle vorgeschlagen, um komplexe Materialien zu beschreiben. Abouelregal et ^al.34 untersuchten thermische Reaktionen in biologischen Geweben mithilfe fraktionierter Modelle, während Selvamani et ^al.35,36 die nichtlokale Wellenausbreitung und das Schwingungsverhalten in Nanostrahlen untersuchten. Zusätzlich wurden von Abouelregal et ^al.37 Dual-Phase-Lag- und viskoelastische Modelle auf Mikrostrukturen angewandt, und fraktionierte thermoelastische Formulierungen mit Speicherkernen wurden^38,39 entwickelt, um komplexe gekoppelte Phänomene zu erfassen.

Trotz dieser umfangreichen Entwicklungen konzentrieren sich die meisten bestehenden Studien hauptsächlich auf analytische oder numerische Lösungen, ohne eine detaillierte räumlich-zeitliche Visualisierung der physikalischen Felder bereitzustellen. In vielen praktischen Anwendungen, insbesondere in anisotropen, faserverstärkten Halbleitermedien, hängt die Systemantwort stark sowohl von räumlichen als auch zeitlichen Variationen ab, was die Visualisierung für eine genaue Interpretation unerlässlich macht. Darüber hinaus bieten numerische und experimentelle Ansätze zwar wertvolle Erkenntnisse, aber analytische Methoden auf Basis von Normalmodus- und Eigenwerttechniken bieten erhebliche Vorteile bei Problemen mit halbunendlichen Domänen und gekoppelten multiphysikalischen Systemen. Diese Ansätze ermöglichen geschlossene Lösungen, bieten ein tieferes physikalisches Verständnis von Wellenausbreitung, Abschwächung und Kopplungsmechanismen und dienen als verlässliche Benchmarks zur Validierung numerischer und experimenteller Ergebnisse.

In der vorliegenden Arbeit wird eine umfassende Untersuchung des gekoppelten thermo-photoelastischen Verhaltens in einem anisotropen, faserverstärkten Halbleitermedium präsentiert. Die Neuheit dieser Studie liegt in der Integration eines eigenwertbasierten analytischen Ansatzes mit spatiotemporaler Heatmap-Visualisierung, um tiefere Einblicke in die Entwicklung und Lokalisierung physikalischer Felder zu gewinnen. Ziel dieser Arbeit ist es, den Einfluss von Anisotropie und Faserverstärkung auf die Wechselwirkung zwischen thermischen, mechanischen und Trägerfeldern zu analysieren und die Anwendbarkeit der vorgeschlagenen Methode zur Interpretation komplexer multiphysikalischer Phänomene zu demonstrieren, die für moderne ingenieurtechnische Anwendungen wie Halbleiterbauelemente, Sensoren und laserbasierte Technologien relevant sind.

Protokoll

Diese Studie basiert vollständig auf theoretischen Modellierungen und numerischen Simulationen und bezieht weder menschliche Teilnehmer, Tierprobanden noch biologische Proben ein. Daher waren keine ethische Genehmigung und informierte Zustimmung erforderlich.

Mathematische Formulierung der Photothermoelastizität in faserverstärkten anisotropen Medien
Die vorliegende Studie betrachtete einen 2D-faserverstärkten anisotropen Halbleiterhalbraum, der einer oberflächenoptischen Anregung unterzogen wird. Das Medium nahm den Bereich x ≥ 0 ein, wobei der Rand bei x = 0 die freiliegende Fläche darstellt. Das Koordinatensystem wurde so definiert, dass sich die x-Achse in das Medium erstreckte, während die y-Achse entlang der Oberfläche lag und das Verhalten in der Ebene beschrieb. Das Material wurde als homogen, aber anisotrop angenommen, da ausgerichtete Verstärkungsfasern vorhanden waren, was eine Richtungsabhängigkeit der elastischen und Kopplungseigenschaften einführte. Die optische Absorption an der Oberfläche erzeugte lokale Erwärmung und überschüssige Ladungsträger, was zu einer vollständig gekoppelten Wechselwirkung zwischen thermischen, mechanischen und Ladungsfeldern führte. Dementsprechend wurde der Zustand des Systems durch die Temperatur θ(x, y, t) (K), die Ladungsdichte N (x, y, t) (^m-3) und die Verschiebungskomponenten u (x, y, t) und v (x, y, t)(m) unter der Annahme kleiner Verformungen beschrieben. Ein Schaltplan des physikalischen Bereichs, des Koordinatensystems, der Faserorientierung und der angewandten optischen Anregung ist in Abbildung 1 dargestellt. Alle symbolischen und numerischen Berechnungen wurden mit Wolfram Mathematica (Version 12.0) durchgeführt.

Abbildung 1. Schematische Darstellung des halbunendlichen, faserverstärkten Halbleitermediums, das am Rand x = 0 optischer Anregung unterzogen wird. Das Koordinatensystem (x, y) wird dargestellt, wobei die Faserorientierung entlang der x-Richtung ausgerichtet ist (a = (1, 0)), was die geometrische Konfiguration und richtungsabhängige Anisotropie des Mediums veranschaulicht. Bitte klicken Sie hier, um eine größere Version dieser Abbildung anzusehen.

Die konstitutive Relation für den Spannungstensor in einem faserverstärkten anisotropen thermoelastischen Halbleitermedium wurde in der allgemeinen Form mit Gleichung 1 ^1,5 ausgedrückt. In dieser Formulierung bezeichnet θ die Temperatursteigerung relativ zur Referenztemperatur T₀, während T, wo anwendbar, die absolute Temperatur darstellt.

.   (1)

Hier sind C_ijkl die elastischen Steifigkeitskoeffizienten, e_kl der Dehnungstensor, und β_ij und η_ij repräsentieren jeweils den thermoelastischen bzw. den Trägerkopplungstensor. In Anwesenheit von Faserverstärkung wurde die Materialantwort richtungsabhängig und wurde durch den Faserorientierungsvektor a = (a_i) bestimmt, der anisotrope Beiträge sowohl in die elastischen als auch in die Kopplungsterme einführte. Dementsprechend wurde die konstitutive Relation erweitert, um explizit den Effekt der Faserverstärkung als ^2,3 einzubeziehen:

. (2)

Hier sind λ und μ_τ die Lamé-Konstanten, und μ_L ist der longitudinale Schermodul entlang der Faserrichtung. Der Parameter α stellt Faserverstärkungseffekte dar und unterscheidet sich von α_ij, die thermische Ausdehnungskoeffizienten bezeichnen. Der Einheitsvektor definierte die Faserorientierung und führte eine Richtungsabhängigkeit in der Spannungs-Dehnungsantwort ein. Für die vorliegende 2D-Formulierung wurde angenommen, dass die Fasern entlang der x-Achse ausgerichtet sind; daher wurde der Orientierungsvektor explizit als a = (1, 0) angenommen. Diese Spezifikation ermöglichte eine klare Parametrisierung der Faserrichtung und stellte sicher, dass die anisotropen Beiträge konsistent in die leitenden Gleichungen einbezogen wurden, wobei das durch die Faserverstärkung induzierte Richtungsverhalten direkt berücksichtigt wurde. Für die gegenwärtige 2D-Konfiguration werden die Steuerspannungskomponenten reduziert auf:

, (3)

, (4)

. (5)

Diese Gleichungen veranschaulichen den kombinierten Einfluss von Anisotropie, Faserverstärkung und multiphysikalischen Kopplungseffekten. Die Koeffizienten β_ij und η_ij wurden anhand der Materialparameter wie folgt definiert:

,

,

,

.

Hier repräsentieren die Koeffizienten A_ij die effektiven elastischen Konstanten des faserverstärkten anisotropen Mediums und wurden wie folgt definiert:

. (6)

Hier sind λ, μ_L und μ_T die elastischen Konstanten des anisotropen, faserverstärkten Mediums, während α_ij und ξ_ij die thermischen bzw. Trägerexpansionskoeffizienten darstellen. Die Ausbreitung elastischer Wellen in thermo-photoelastischen Halbleitermedien wurde durch das Prinzip der Erhaltung des linearen Impulses geregelt, das die Grundlage der dynamischen thermoelastischen Analyse bildete. In Abwesenheit von Körperkräften wird die allgemeine Bewegungsgleichung für ein verformbares Kontinuum wie folgt ausgedrückt, basierend auf ^1,15:

. (7)

Hier ist ρ die Massendichte und σ_ij der Spannungstensor. In der vorliegenden Studie war die Formulierung auf eine 2D-Konfiguration in der x-y-Ebene beschränkt, und das Verschiebungsfeld wurde durch u(x, y, t) und v(x, y, t) dargestellt. Nach Standardformulierungen in thermo-photoelastischen Medien wurden die leitenden Bewegungsgleichungen in zwei Dimensionen wie folgt geschrieben:

, (8)

. (9)

Durch die Einsetzung der anisotropen, faserverstärkten konstitutiven Relationen in die obigen Gleichungen ergab sich das resultierende gekoppelte System partieller Differentialgleichungen (DEs) wie folgt:

, (10)

. (11)

Hier bezeichnen Index die partielle Differenzierung bezüglich räumlicher und zeitlicher Variablen. Diese Gleichungen heben den gekoppelten Einfluss von Anisotropie, Faserverstärkung, Temperaturgradienten und Trägerdiffusion auf die dynamische Antwort des Mediums hervor. Bei optischer Anregung wurde das thermische Feld im Halbleiter stark durch die Wechselwirkung mit Trägerdichte und mechanischer Verformung beeinflusst, was zu einem vollständig gekoppelten Energietransportprozess führte. Im Gegensatz zur klassischen Wärmeleitung wurde die Temperaturentwicklung in solchen Medien durch zusätzliche Quellterme bestimmt, die durch Trägerrekombination und thermoelastische Effekte entstanden und die Eigenschaften der Wärmeausbreitung erheblich veränderten. Die Wärmeleitungsgleichung im Rahmen der verallgemeinerten Thermoelastizität wurde wie folgt^16,20 ausgedrückt:

. (12)

Hier ist C_E die spezifische Wärme bei konstanter Dehnung, die die thermische Kapazität des Materials darstellt, und T₀ bezeichnet die absolute Referenztemperatur des Mediums im Gleichgewichtszustand. Für die gegenwärtige 2D-Konfiguration reduziert diese Gleichung auf^16,20:

. (13)

Diese Gleichung zeigt, dass das Temperaturfeld nicht nur durch die gerichtete Wärmeleitfähigkeit, sondern auch durch die Trägerrekombination durch den Term sowie durch zeitabhängige Verformung durch thermoelastische Kopplungstermen beeinflusst wurde. Diese Formulierung erfasste die wesentlichen multiphysikalischen Wechselwirkungen, die den Wärmetransfer im anisotropen faserverstärkten Halbleiter steuern, und hob die Rolle sowohl der Trägerdynamik als auch der mechanischen Reaktion bei der Veränderung des thermischen Verhaltens des Systems hervor. Wenn ein Halbleitermedium optischer Anregung unterzogen wurde, wurden aufgrund der Absorption einfallender Strahlung eine beträchtliche Anzahl von Ladungsträgern erzeugt. Diese Träger durchliefen Transportprozesse, die räumliche Diffusion, Rekombination und thermisch angetriebene Erzeugung umfassten, die alle untrennbar mit dem Temperaturfeld im Material verbunden waren. Folglich wurde die Trägerdichte zu einer der Schlüsselvariablen, die die gekoppelte thermo-photoelastische Antwort bestimmen.

In der vorliegenden Formulierung wurde die Entwicklung der Ladungsträgerkonzentration durch ein Gleichgewicht zwischen Diffusionsmechanismen, Zerfallseffekten und thermischen Aktivierungsprozessen beschrieben, was zu folgender Steuerungsrelation^{führte: 1,5}"

. (14)

Hier stellt D_E den Trägerdiffusionskoeffizienten dar und ist der 2D-Laplace-Operator in der x-y-Ebene. Der Term berücksichtigt Rekombinationseffekte mit Relaxationszeit τ, während k der Thermoträgerkopplungskoeffizient ist, definiert als , der die Empfindlichkeit der Gleichgewichtsträgerkonzentration N₀ gegenüber Temperaturschwankungen charakterisiert. Diese Beziehung hebt die Rolle der Temperatur als treibenden Mechanismus für die Trägererzeugung hervor und stellt eine direkte Kopplung zwischen dem thermischen und elektronischen Feld im anisotropen, faserverstärkten Halbleitermedium her.

Die leitenden Gleichungen und die mathematische Formulierung des gekoppelten photothermoelastischen Trägersystems wurden festgelegt. Die physikalischen und materialbezogenen Parameter des Silizium-(Si-)Mediums sind in Tabelle 1 zusammen mit ihren numerischen Werten, Einheiten und entsprechenden Referenzen zusammengefasst. Diese Parameter werden anschließend in numerischen Berechnungen und im Dimensionslosisierungsprozess verwendet.

Symbol	Wert	Einheit	Referenz
λ	3,64 × 10¹⁰	N/m²	12
μT	5,46 × 10¹⁰	N/m²	12
μL	3,20 × 10¹⁰	N/m²	12
ρ	2330	kg/m³	13
CE	695	J/(kg· K)	30
K11	0,0921 × 10³	W/(m·K)	30
K22	0,0963 × 10³	W/(m·K)	30
DE	2,5 × 10⁻³	m²/s	22
τ	5 × 10⁻⁵	s	15
T₀	300	K	15
Eg	1.11 × 10⁻¹⁹	J	12
α11	3.1 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
α22	3,5 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
ξ11	−7 × 10⁻³¹	m³	21
ξ22	−9 × 10⁻³¹	m³	21
κ	2.16 × 10²¹	m⁻³·s⁻¹· K⁻¹	21
α	−1,28 × 10¹⁰	N/m²	28
β	220,90 × 10¹⁰	N/m²	28
ω	2,95 + 1i	s⁻¹	12
a	1	— (dimensionslos)	13
y	0.6	m	13
θ₀	1	— (dimensionslos)	15
N₀	1	— (dimensionslos)	15

Tabelle 1. Materialeigenschaften und -parameter, die bei der numerischen Analyse des anisotropen, faserverstärkten Halbleitermediums verwendet werden. Alle Größen werden in SI-Einheiten angegeben, sofern nicht anders angegeben. Dimensionslose Parameter werden entsprechend angegeben. Die aufgeführten Werte entsprechen siliziumbasierten Materialeigenschaften und Modellparametern, die in den vorliegenden Berechnungen verwendet wurden, wie sie aus den zitierten Referenzen gewonnen wurden. Der Thermoträgerkopplungskoeffizient κ ist definiert als κ = (∂N₀/∂T)(1/τ) und folgt den Standardformulierungen in thermo-photoelastischen Halbleitermodellen.

Dimensionslose Formulierung des gekoppelten anisotropen photo-thermoelastischen Modells
Um die leitenden Gleichungen zu vereinfachen und eine konsistente dimensionslose Darstellung des gekoppelten thermo-photoelastischen Systems zu erhalten, wurden geeignete charakteristische Skalen für die räumlichen Koordinaten x, y, Zeit t, Verschiebungskomponenten u, v, Temperatur T, Trägerdichte N und Spannung σ eingeführt. Diese Skalierungsparameter wurden konsistent basierend auf den intrinsischen physikalischen Eigenschaften des Mediums und den Kopplungsmechanismen zwischen thermischen, mechanischen und Trägerfeldern ausgewählt, basierend auf etablierten Formulierungen, die in der Literatur^16,21 berichtet wurden. Dementsprechend wurden die dimensionslosen Variablen wie folgt definiert:

, , , , , , , , , , .

Diese Transformation reduzierte die Anzahl der unabhängigen Materialparameter und lieferte eine normalisierte Darstellung des gekoppelten Systems. Durch das Einsetzen der oben genannten dimensionslosen Variablen in die zuvor abgeleiteten leitenden Gleichungen wurde das System in dimensionsloser Form umgeschrieben. Der Einfachheit halber wurde die mit den dimensionslosen Variablen verbundene Primnotation anschließend weggelassen. Dieses Verfahren ergab eine kompakte Menge dimensionsloser partieller DEs, die in folgender Form geschrieben werden können:

, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

Nach Anwendung der dimensionslosen Transformation wurden die Spannungskomponenten des Systems in folgender normalisierter Form geschrieben:

, (19)

, (20)

. (21)

Die dimensionslosen Parameter a_i eingeführt wurden, um kompakte Kombinationen der physikalischen und materiellen Eigenschaften darzustellen, die das gekoppelte anisotrope photo-thermoelastische Verhalten steuern. Jeder Koeffizient spiegelte einen spezifischen Wechselwirkungsmechanismus innerhalb des Systems wider und lieferte Einblicke in den relativen Einfluss der zugrunde liegenden physikalischen Prozesse. stellt das Verhältnis zwischen der normalen Kopplungssteifigkeit und der Haupt-elastischen Steifigkeit dar und spiegelt das Ausmaß der anisotropen Wechselwirkung zwischen den beiden Verschiebungskomponenten wider. charakterisiert den relativen Beitrag der Querverformung zur Normalspannungskomponente. Misst die Richtungsvariation der thermoelastischen Kopplung und weist auf Anisotropie bei thermischen Ausdehnungseffekten hin. beschreibt den anisotropen Einfluss der Trägerdichte auf die induzierte elastische Deformation. stellt die normalisierte Schersteifigkeit dar und quantifiziert den Beitrag der Scherverformung relativ zur normalen Verformung. berücksichtigt die kombinierte Kopplung zwischen normaler und Scherverformung in den leitenden Verschiebungsgleichungen. drückt das Verhältnis zwischen Quersteifigkeit und Schersteifigkeit aus und hebt das anisotrope Deformationsverhalten hervor. stellt den normalisierten Trägheitsparameter dar und verbindet Wellenausbreitungseffekte mit Schersteifigkeit. charakterisiert die Kopplung zwischen Verschiebungsgradienten in verschiedenen räumlichen Richtungen. quantifiziert den relativen Beitrag thermischer Effekte zum Verschiebungsfeld in Querrichtung. Misst die Wirkung der trägerinduzierten Verformung in Bezug auf die Schersteifigkeit. : repräsentiert die Anisotropie der Wärmeleitfähigkeit entlang verschiedener räumlicher Richtungen. charakterisiert den Einfluss der Ladungsträgerrekombination auf die Wärmeentwicklung im Medium. stellt die Kopplung zwischen thermischen Effekten und zeitabhängiger elastischer Deformation dar. erklärt den kombinierten Einfluss der anisotropen thermischen Ausdehnung in beiden räumlichen Richtungen. stellt den normalisierten Diffusionsparameter dar, der die Geschwindigkeit des Trägertransports steuert. charakterisiert die relative Stärke der Trägerrekombinationseffekte. beschreibt die Kopplung zwischen thermischen Variationen und Trägererzeugungsprozessen.

Analytische Lösung mit der Normalmodustechnik
Um analytische Lösungen für das gekoppelte anisotrope thermo-photoelastische System zu erhalten, wurde die Normalmodus-Technik eingesetzt, da sie wirksam ist, die leitenden partiellen DEs in ein besser handhabbares System gewöhnlicher DEs zu reduzieren. Dieser Ansatz wird häufig bei der Analyse von Wellenausbreitungsphänomenen verwendet, einschließlich Dispersion und Dämpfung. Dementsprechend wurden harmonische Variationen der Feldvariablen sowohl in der Zeit als auch in der transversalen räumlichen Richtung^{angenommen 1,12,23}. Somit wurden die Verdrängungskomponenten, Temperatur, Trägerdichte und Spannung exponentiell wie folgt ausgedrückt:

. (22)

Hier bezeichnet ω die komplexe Frequenz, die das zeitliche Verhalten der Felder steuert, während a die Wellenzahl darstellt, die mit der räumlichen Variation entlang der y-Richtung verbunden ist. Diese Parameter wurden ausgewählt, um Stabilitätsanforderungen zu erfüllen und physikalisch zulässige beschränkte Lösungen im halbunendlichen Bereich zu gewährleisten. Indem die oben angenommenen Formen in die zuvor abgeleiteten dimensionslosen Gleichungen eingefügt und die resultierenden Ausdrücke vereinfacht wurden, wurde das ursprüngliche gekoppelte System partieller DEs auf ein System gewöhnlicher DEs bezüglich der räumlichen Koordinate reduziert, das wie folgt geschrieben werden kann:

, (23)

, (24)

, (25)

. (26)

Außerdem wurden die entsprechenden Spannungskomponenten im transformierten Bereich wie folgt geschrieben:

, (27)

, (28)

. (29)

Hier bezeichnet D den Differentialoperator . Diese Gleichungen stellen die reduzierte Form des Steuerungssystems im Normalmodusbereich dar und bilden die Grundlage für die Herleitung der charakteristischen Gleichung und die Konstruktion der allgemeinen analytischen Lösung in den folgenden Schritten. Die Koeffizienten waren wie folgt definiert: , , , , , , .

Matrix-DE-Formulierung und Eigenwertanalyse
Nach Anwendung der Normalmodustransformation wurde das in den Gleichungen 23–26 gegebene Steuerungssystem auf eine Menge gewöhnlicher DEs zweiter Ordnung bezüglich der räumlichen Koordinate reduziert. Um eine systematische Lösung zu erleichtern, wurde dieses System in ein äquivalentes System erster Ordnung umgewandelt, indem Hilfsvariablen eingeführt wurden, die den ersten Ableitungen der Feldgrößen entsprechen. Konkret wurden folgende Variablen definiert:

, . (30)

Mit diesen Definitionen wurden die Gleichungen 23–26 als folgendes System von acht Erstordnungs-DEs umgeschrieben:

, (31)

, (32)

, (33)

, (34)

. (35)

Das obige System wurde in kompakter Matrix A-Form wie folgt ausgedrückt:

. (36)

Der Zustandsvektor wurde durch Folgendes gegeben:

. (37)

und die Systemmatrix nahm die explizite Form an:

. (38)

Diese Formulierung verwandelte das ursprüngliche System in ein Eigenwertproblem ^1,15. Die charakteristische Gleichung wurde aus

. (39)

was ein Polynom achter Ordnung ergibt, das die Eigenwerte steuert. In reduzierter Form kann das charakteristische Polynom geschrieben werden als

. (40)

wobei Z_i die Koeffizienten Funktionen der Systemparameter sind und im Folgenden explizit definiert sind. Die resultierenden Eigenwerte bestimmen das räumliche Verhalten der Lösung, einschließlich Dämpfungs- und Ausbreitungseigenschaften. Nur Eigenwerte, die Re(m) > 0 erfüllen, werden beibehalten, um physikalisch zulässige Lösungen zu gewährleisten, die exponentiell mit x → ∞ abklingen.

. (41)

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms definieren die Eigenwerte m, die das räumliche Verhalten der Lösung bestimmen. Diese Eigenwerte wurden numerisch mit Mathematica berechnet, indem das charakteristische Polynom über die CharakteristicPolynom-Funktion konstruiert und die resultierende algebraische Gleichung mit NSolve gelöst wurde. Da das Problem in einem halbunendlichen Bereich (x ≥ 0) formuliert ist, werden nur physikalisch zulässige Lösungen betrachtet, die als x → ∞ beschränkt bleiben. Dementsprechend wurden nur Eigenwerte beibehalten, die Re(m) > 0 erfüllen, wodurch exponentiell abklingende Lösungen der Form exp(−mx) als x → ∞ gewährleistet wurden. Die übrigen Nullstellen wurden verworfen, da sie nicht abklingenden oder unbeschränkten Lösungen entsprechen, die nicht mit den physikalischen Anforderungen des Modells vereinbar sind.

Für jeden erhaltenen Eigenwert m wurde der entsprechende Eigenvektor aus dem zugehörigen algebraischen System gewonnen

, (42)

und wurde in folgender Form ausgedrückt:

. (43)

Durch die Erweiterung der obigen Matrixgleichung ergab sich folgendes System linearer Gleichungen:

, (44)

, (45)

, (46)

, (47)

. (48)

Aufgrund der Homogenität des Eigenwertproblems wurden die Eigenvektoren bis auf eine beliebige multiplikative Konstante definiert. Um eine eindeutige und konsistente Darstellung zu erhalten, wurde eine Normalisierungsbedingung auferlegt, indem eine Komponente des Eigenvektors fixiert wurde. In der vorliegenden Arbeit wurde die erste Komponente so ausgewählt, dass q₁ = 1 gilt, und die übrigen Komponenten wurden sequentiell aus dem obigen Gleichungssystem bestimmt. Aus rechnerischer Sicht wurde diese Normalisierung implementiert, indem einer Komponente ein Einheitswert zugewiesen und das resultierende System linearer Gleichungen gelöst wurde, um die verbleibenden Komponenten auszuwerten. Dieses Verfahren bot eine systematische und reproduzierbare Methode zur Berechnung der Eigenvektoren, die jedem zulässigen Eigenwert zugeordnet sind.

. (49)

Und die übrigen Komponenten folgen entsprechend aus den Systembeziehungen. Diese Eigenvektoren beschreiben die relativen Beiträge von Temperatur, Ladungsdichte und Verschiebungsfeldern innerhalb jedes Modus. Folglich wurde die allgemeine Lösung des Problems als Linearkombination der zulässigen Eigenmoden konstruiert, die jeweils mit einem Eigenwert und dessen entsprechendem Eigenvektor verknüpft sind, wodurch eine vollständige analytische Beschreibung des gekoppelten anisotropen photo-thermoelastischen Verhaltens im Halbraummedium geliefert wird. Die allgemeine Lösung des Systems wurde daher wie folgt geschrieben:

. (50)

Hier sind C_i Konstanten, die aus den Randbedingungen bestimmt werden. Durch Erweiterung des obigen Vektorausdrucks wurden die Feldvariablen wie folgt erhalten:

, (51)

, (52)

, (53)

. (54)

Diese Darstellung zeigt, dass die Lösung aus einer Überlagerung exponentialer Moden besteht, wobei jedes Eigenwert-Eigenvektor-Paar unabhängig zur gesamten physikalischen Antwort beiträgt. Die zulässigen Eigenwerte werden so ausgewählt, dass ihre reellen Teile positiv sind, was begrenzte und physikalisch sinnvolle Lösungen als x → ∞ sicherstellt.

Randbedingungen und physikalische Einschränkungen
Durch das Einsetzen der allgemeinen Lösung in die vorgeschriebenen Randbedingungen bei x = 0 entstand ein System linearer algebraischer Gleichungen in Bezug auf die Konstanten C_i. Konkret wurde jede Randbedingung (Temperatur, Ladungsdichte und Verschiebungsbedingungen) in Form der Eigenmodenentwicklungen ausgedrückt, was zu einer Gleichungsmenge führte, die die Koeffizienten C_i in Verbindung setzten. Dieses Verfahren führte zu einem linearen System, das in Matrixform als BC = D geschrieben werden kann, wobei B die Koeffizientenmatrix ist, die aus den Komponenten der am Rand ausgewerteten Eigenvektoren konstruiert wird, C = (C₁, C₂, C_{3,C 4})^T ist der Vektor unbekannter Konstanten und wird aus den auferlegten Randwerten wie θ₀ bestimmt, N₀ und die Verschiebungsbedingungen. Das resultierende lineare System wurde rechnerisch mit Mathematica gelöst, wobei die Koeffizientenmatrix und der rechte Seitenvektor explizit zusammengesetzt wurden und die unbekannten Konstanten mit der LinearSolve-Routine erhalten wurden. Diese Konstanten wurden dann wieder in die allgemeine Lösung eingesetzt, um die vollständigen Ausdrücke für die physikalischen Körper zu konstruieren, die anschließend in der numerischen Auswertung und grafischen Darstellung der Ergebnisse verwendet wurden.

Die auferlegten Randbedingungen wurden wie folgt angegeben:

Temperaturbeschränkung:

. (55)

Dieser Zustand stellt eine harmonisch variierende Oberflächentemperatur dar, die durch periodische optische Erwärmung induziert wird. Sie fungiert als primäre thermische Anregung und treibt die gekoppelten thermoelastischen und Trägertransportprozesse im Medium an. Die Amplitude θ₀ charakterisiert die Intensität der angelegten thermischen Last.

Trägerdichte-Bedingung:

. (56)

Diese Randbedingung beschreibt die fotoerzeugte Trägerdichte, die durch optische Beleuchtung entsteht. Sie spiegelt die elektronische Anregung durch Photonenabsorption und deren harmonische Modulation wider, die mit dem einfallenden optischen Feld übereinstimmt.

Verdrängungsbedingung:

. (57)

Diese Bedingung zeigt an, dass die Grenze mechanisch in Querrichtung eingeschränkt ist. Daher tritt an der Oberfläche keine Verschiebung entlang der v-Richtung auf.

Schubspannungsbeschränkung:

. (58)

Diese Bedingung entspricht einer traktionsfreien Grenze hinsichtlich der Scherspannung. Sie stellt sicher, dass keine tangentialen Kräfte auf die Oberfläche wirken, was mit einer mechanisch freien Grenze in tangentialer Richtung vereinbar ist. Zusätzlich zu den Randbedingungen bei x = 0 wurde die physikalische Anforderung im Unendlichen wie folgt auferlegt: Sicherstellung beschränkter physikalischer Lösungen innerhalb des halbunendlichen Bereichs. Bevor die numerischen Ergebnisse präsentiert werden, wird das in dieser Studie verwendete gesamte rechnerische Verfahren in Abbildung 2 zusammengefasst. Die numerischen Werte der Anregungsparameter θ₀, N₀, komplexe Frequenz ω und Wellenzahl a, die in den Berechnungen verwendet wurden, sind in Tabelle 1 aufgeführt. Die in Tabelle 1 aufgeführten Parameter umfassen sowohl dimensionale Materialkonstanten als auch dimensionslose Parameter, die in der normalisierten Formulierung verwendet werden. Für die numerische Auswertung wurde der räumliche Bereich definiert als , die transversale Koordinate war bei y = 0,6 fixiert, und der zeitliche Bereich wurde innerhalb betrachtet . Diese Bereiche wurden für alle numerischen Berechnungen und grafischen Darstellungen verwendet.

Abbildung 2. Rechengestützter Arbeitsablauf der vorgeschlagenen Methode. Die Abbildung veranschaulicht die Abfolge der Schritte von der Formulierung zu den numerischen Ergebnissen: Gleichungssteuerung, Dimensionslosigkeit, Anwendung der Normalmodus-Technik, Umwandlung in ein System erster Ordnung, Matrixformulierung, Eigenwert- und Eigenvektoranalyse, Anwendung von Randbedingungen, Bestimmung von Konstanten und Erstellung numerischer Diagramme. Bitte klicken Sie hier, um eine größere Version dieser Abbildung anzusehen.

Ergebnisse

Numerische Ergebnisse
In diesem Abschnitt wurden numerische Berechnungen durchgeführt, um das Verhalten des gekoppelten thermo-photoelastischen Trägersystems in einem anisotropen, faserverstärkten Halbleitermedium zu analysieren. Das betrachtete Material war Silizium (Si), und seine physikalischen sowie materialspezifischen Parameter sind in Tabelle 1 aufgeführt. Diese Materialkonstanten wurden direkt in die leitenden Gleichungen eingefügt und in den ...

Diskussion

Die erhaltenen Ergebnisse liefern klare physikalische Einblicke in das gekoppelte thermo-photoelastische Verhalten in anisotropen, faserverstärkten Halbleitermedien. Die vorliegende Studie schlägt einen eigenwertbasierten analytischen Rahmen vor, um die Wechselwirkung zwischen thermischer Belastung, Trägererzeugung und elastischer Deformation in solchen Medien zu untersuchen. Die beobachtete Antwort wird grundlegend durch die starke Kopplung zwischen diesen physikalischen Prozessen besti...

Materialien

Liste der in diesem Artikel verwendeten Materialien

Name	Unternehmen	Katalognummer	Kommentare
Rechengestützte Software (symbolische und numerische Analyse)	Wolfram-Forschung	Wolfram Mathematica (Version 12.0) wurde verwendet	Verwendet für Eigenwertberechnung, analytische Lösungsimplementierung und numerische Bewertung
Datenvisualisierungstools (Kontur- und Heatmap-Generierung)	Wolfram-Forschung	Wolfram Mathematica (Version 12.0) wurde zur Erstellung von 2D-Konturdiagrammen und raumzeitlichen Heatmaps verwendet	Verwendet zur Erstellung von 2D-Konturdiagrammen und raumzeitlichen Heatmaps
Materialparameter-Datensatz (Eigenschaften von Siliziumhalbleitern)	Verschiedene literarische Quellen	N/A	Physikalische Konstanten (elastisch, thermisch, trägerbezogen), die in Berechnungen verwendet werden (Tabelle 1)
Personal Computer/Arbeitsplatz	HP	N/A	Die Berechnungen wurden auf einem Standard-Personal Computer mit Windows OS durchgeführt, der ausreichend Speicher für numerische Simulationen hatte
Gleichungseditor	Microsoft  Word und MathType	N/A	Verwendet zur Formatierung und Darstellung mathematischer Ausdrücke im Manuskript
Referenzverwaltungssoftware	Elsevier	N/A	Verwendet zur Verwaltung von Referenzen und zur Formatierung von Zitaten (Vancouver-Stil)