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Kinematik ist die Beschreibung von Bewegung, die oft eine wichtige Folge vieler physikalischer Ereignisse und Phänomene ist.
Die Bewegung kann eindimensional, zweidimensional oder dreidimensional sein. Die Gleichungen, die in all diesen Fällen auf die Bewegung eines Objekts angewendet werden, verwenden die Vektorgrößen der Position - die die Verschiebung in Bezug auf den Ursprung ist, der Geschwindigkeit - die eine Änderung der Position mit der Zeit ist, und der Beschleunigung - die eine Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit ist.
Mit diesen Informationen ist es möglich, die Bahnen frei fallender Körper, die Flugbahnen von Projektilen und die Umlaufbahnen von Planeten zu berechnen, um nur einige Beispiele zu nennen.
Hier konzentrieren wir uns auf kinematische Gleichungen, die sich auf das eindimensionale Steigen und Senken eines Objekts und den zweidimensionalen Bogen eines Objekts beziehen, das in einem Winkel gestartet wird
Bevor wir eine Bewegung beschreiben, ist es notwendig, ein Koordinatensystem oder einen Bezugsrahmen zu haben. In der Regel ist die X-Achse horizontal und die Y-Achse vertikal. Der Ursprung ist beliebig, aber oft der Ausgangspunkt eines Objekts.
Betrachten wir einen Basketball, der am Ursprung platziert und gerade nach oben geworfen wird. Die Position des Balls ist seine Entfernung und Richtung vom Ursprung und hat Einheiten von Metern.
Die durchschnittliche Geschwindigkeit vy ist die Änderung der Position ?y dividiert durch die Änderung der Zeit ?t und hat Einheiten von Metern pro Sekunde. Wenn sich jedoch ?t Null nähert, wird die Gleichung für die durchschnittliche Geschwindigkeit eins für die momentane Geschwindigkeit .
Stellen Sie sich die momentane Geschwindigkeit praktisch als die Geschwindigkeit in diesem Moment vor. Beim Start ist die Momentangeschwindigkeit v0 also die Startgeschwindigkeit, und danach nimmt die Momentangeschwindigkeit kontinuierlich ab, bis sie am Spitzenpunkt Null ist.
Die Abnahme der Geschwindigkeit aufgrund der konstanten Beschleunigung, die durch die Schwerkraft der Erde bereitgestellt wird, die der Bewegung der Kugel entgegenwirkt und in diesem Koordinatensystem negativ ist.
Unter solchen konstanten Beschleunigungsbedingungen führen die kinematischen Beziehungen zu diesen Gleichungen für die Größe der momentanen Geschwindigkeit und Position in einer Dimension. Mit ihnen können wir die Bewegung eines Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnen
Wenden wir diese Formeln auf das Basketball-Beispiel an. Nehmen wir an, dass die Startgeschwindigkeit des Basketballs, v0, 20 Meter pro Sekunde beträgt. Wir wissen, dass die endgültige Momentangeschwindigkeit des Balls in der Spitze Null ist. Die Beschleunigung ist hier minus g, da sie der Bewegung des Balls entgegenwirkt. Wenn wir also diese kinematische Gleichung neu anordnen, erhalten wir t -- die Anstiegszeit, die sich als etwa zwei Sekunden herausstellt. Wenn wir nun die kinematische Formel für die Position verwenden und sagen, dass die Anfangsposition y0 Null ist, können wir die Werte für die Beschleunigung der Startgeschwindigkeit aufgrund der Schwerkraft und der Anstiegszeit einsetzen, um die maximale Verschiebung zu berechnen, die hier die Spitzenhöhe von etwa 20,4 Metern ist. Nach Erreichen des Peaks fällt der Ball zwei Sekunden lang mit zunehmender Geschwindigkeit, bis er auf dem Boden auftrifft, wo er gestartet ist, so dass die Gesamtflugzeit etwa 4 Sekunden beträgt.
Bei zwei Dimensionen sind die vertikalen und horizontalen Bewegungen eines Objekts unabhängig voneinander und können getrennt behandelt werden, wobei das Nettoergebnis die Vektorsumme ist. Mit dieser Erkenntnis kann der gesamte Bogen der Projektilbewegung in zwei getrennte, eindimensionale Bewegungen zerlegt werden.
Schauen wir uns das an einem Beispiel an: Ein Pitcher wirft einen Baseball mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20 Metern/Sekunde in einem Winkel von dreißig Grad über dem Boden. Die anfängliche vertikale Komponente der Geschwindigkeit ist diese Geschwindigkeit multipliziert mit dem Sinus von 30 Grad oder 10 Metern/Sekunde. Die anfängliche horizontale Komponente ist die Geschwindigkeit multipliziert mit dem Kosinus von 30 Grad oder etwa 17 Metern/Sekunde.
Während der Anstiegszeit des Baseballs ist die vertikale Geschwindigkeit nach oben, wobei die Geschwindigkeit aufgrund der Schwerkraft abnimmt. An der Spitze, der Mitte, ist die vertikale Geschwindigkeit für einen Moment Null. Während der Fallzeit geht es dann mit zunehmender Geschwindigkeit nach unten.
Ignoriert man den Luftwiderstand, so hat die horizontale Bewegung keine Beschleunigung und daher eine konstante Geschwindigkeit.
Die vektorielle Addition von vertikalen und horizontalen Positionen sowie vertikalen und horizontalen Geschwindigkeiten erzeugt den Bogen der Projektilbewegung. Die Summe der Anstiegs- und Abfallzeiten ist die Gesamtflugzeit, die die Reichweite bestimmt, bzw. die horizontale Entfernung.
Nachdem wir nun gesehen haben, wie man die Wege von bewegten Objekten berechnet, werden wir die kinematischen Gleichungen an einem Ball testen, der gerade nach oben geworfen wird, und an einem, der in einem Winkel geworfen wird.
Bei diesen Experimenten werden eine Kugel, ein Werfer mit Kolben, zwei Stangen, ein Eimer, zwei Klemmen sowie ein zwei Meter langer Stock und eine Stoppuhr verwendet. Beachten Sie, dass die Mündungsgeschwindigkeit des Werfers 6,3 Meter pro Sekunde beträgt. Für das erste Experiment, das eine eindimensionale Projektilbewegung demonstriert, befestigen Sie den Werfer an einer Stange und positionieren Sie den zwei Meter langen Stab darüber.
Stellen Sie den Werfer so ein, dass er in einem Winkel von null Grad zur Vertikalen direkt nach oben zeigt. Dies entspricht einem Startwinkel von 90 Grad aus der Horizontalen. Notieren Sie sich die vertikale Position der Spitze des Werfers, an der der Ball austritt, und bezeichnen Sie sie mit y0. Verwenden Sie den Kolben, um die Kugel bei maximaler Federspannung in den Werfer zu legen.
Schießen Sie den Ball ab und starten Sie im selben Moment eine Stoppuhr. Messen Sie die Gesamtzeit, die der Ball benötigt, um zu seinem Ausgangspunkt in der vertikalen Position y0 zurückzukehren, und notieren Sie das Ergebnis als Flugzeit. Beachten Sie, dass der Ball eine maximale Höhe von etwa 2 Metern erreicht und an dieser Stelle für einen Moment stehen bleibt.
Wiederholen Sie diesen Vorgang fünfmal und verwenden Sie die durchschnittliche Gesamtzeit für spätere Berechnungen.
Dieses zweite Experiment demonstriert die zweidimensionale Projektilbewegung. Stellen Sie den Werfer wie im ersten Experiment auf und platzieren Sie die andere Stange vier Meter entfernt auf der gleichen Höhe. Befestigen Sie den Eimer mit der Klemme an dieser zweiten Stange und stellen Sie den Eimer so ein, dass er sich auf der gleichen Höhe wie die Spitze des Werfers befindet.
Befestigen Sie den 2-Meter-Stick in der Mitte der Konfiguration und positionieren Sie ihn so, dass er mindestens einen Meter über der Höhe des Launchers oder y0 liegt. Stellen Sie den Werfer so ein, dass er sich in einem Winkel von 45 Grad zur Vertikalen befindet, was einem Startwinkel von 45 Grad zur Horizontalen entspricht. Verwenden Sie den Kolben, um die Kugel bei maximaler Federspannung in den Werfer zu legen.
Starten Sie nun den Ball und starten Sie die Stoppuhr im selben Augenblick. Messen Sie die Gesamtflugzeit, bis der Ball im Eimer landet. Notieren und notieren Sie die maximale Höhe, die der Ball erreicht. Wiederholen Sie dieses Experiment fünfmal, und verwenden Sie die durchschnittliche Gesamtzeit für spätere Berechnungen.
Für das Experiment, das die Bewegung in einer Dimension demonstrierte, betrug die Anfangsgeschwindigkeit des Balls aus dem Abschussmechanismus 6,3 Meter pro Sekunde. Zur Erinnerung: Wenn ein Ball gerade nach oben geworfen wird, ist seine Geschwindigkeit in der Spitze 0. Mit diesen Informationen und der kinematischen Formel für die Geschwindigkeit können wir die theoretische Anstiegszeit des Balls auf 0,64 Sekunden berechnen. Multipliziert man dies mit 2, erhält man die berechnete Flugzeit. Dann können wir mit der Formel für die Position die Spitzenhöhe auf 2,02 Meter berechnen.
Die theoretischen und gemessenen Ergebnisse sind vergleichbar, innerhalb eines experimentellen Fehlers, der die kinematischen Gleichungen für die eindimensionale Bewegung validiert
Für das Experiment, das die Bewegung in zwei Dimensionen demonstriert, wurde der Ball mit einer Geschwindigkeit von 6,3 Metern/Sekunde in einem Winkel von 45 Grad gestartet. Um die Bewegung des Projektils zu berechnen, bestimmt man zunächst die x-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit-v?cos?-und die y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit-v?sin?. Verwenden Sie dann die anfängliche vertikale Geschwindigkeit und Beschleunigung, um die Zeit bis zum Erreichen der Spitzenhöhe zu bestimmen, die 0,45 Sekunden beträgt. Daher ist die Gesamtflugzeit doppelt so hoch wie dieser Wert, nämlich 0,9 Sekunden.
Um die maximale vertikale Verschiebung zu berechnen, verwenden Sie die anfängliche vertikale Geschwindigkeit, die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft und die Anstiegszeit. Daraus ergibt sich die theoretische maximale y-Verschiebung von 1 Meter. Um die maximale horizontale Verschiebung zu berechnen, verwenden Sie die anfängliche horizontale Geschwindigkeit und die Gesamtflugzeit, was zu einer theoretischen maximalen x Verschiebung von 4 Metern führt.
Auch hier stimmt die Theorie gut mit dem Experiment überein und validiert die kinematischen Gleichungen für die zweidimensionale Bewegung.
Der Einsatz von Kinematik und das Verständnis der Projektilbewegung sind in vielen alltäglichen Anwendungen wichtig und oft unsichtbar.
Automobilingenieure verwenden die Kinematik oft, um verschiedene Fahrzeugspezifikationen zu berechnen.
Eine davon ist der Stopp- oder Bremsweg, der ein wichtiger Sicherheitsparameter ist, der mit Hilfe von eindimensionalen Kinematikgleichungen berechnet werden kann
Ohne es zu wissen, führt ein Golfer bei jedem Schlag des Schlägers mentale Berechnungen mit Hilfe der Kinematik durch. In der Hoffnung auf ein Hole-in-One schwingt der Golfer, schlägt den Ball und schleudert ihn mit einer bestimmten Geschwindigkeit und einem bestimmten Winkel, um über den Platz zu fliegen. Die ideale zweidimensionale Bahn des Golfballs gehorcht den Gleichungen, die die Projektilbewegung bestimmen.
Sie haben gerade die Einführung von JoVE in die Kinematik und Projektilbewegung gesehen. Sie sollten jetzt wissen, wie Sie kinematische Gleichungen verwenden, um die Flugbahn eines Objekts zu berechnen, das sich in einer oder zwei Dimensionen bewegt. Wie immer vielen Dank fürs Zuschauen!
