What is the exponential growth model and how does it work?

The exponential growth model simulates population growth where each individual produces new offspring at a constant reproductive rate, R, each generation. The population size increases dramatically over time following the equation NT+1 = NT + (1 + R) × NT. This model demonstrates unrestricted growth that cannot be sustained indefinitely in nature due to resource limitations.

How does the logistic growth model differ from exponential growth?

The logistic growth model incorporates carrying capacity, K, which limits population growth as resources become scarce. Populations grow initially but slow as they approach carrying capacity, creating an S-shaped curve. Unlike exponential growth, logistic growth reflects realistic population dynamics where growth rate decreases as population size increases relative to available resources.

What happens to a population when it exceeds carrying capacity in the logistic model?

When a population exceeds carrying capacity, the population size decreases in the subsequent generation. The logistic equation accounts for this by reducing growth rate as population approaches or surpasses carrying capacity. This negative feedback mechanism prevents unlimited growth and stabilizes the population near the carrying capacity limit.

How do predator and prey populations interact in the predator-prey model?

In the predator-prey model, prey populations increase when predators are scarce, but as predators consume more prey, predator populations grow. Increased predators then reduce prey populations, causing predators to subsequently decline from starvation. This creates cyclical population fluctuations where each species' growth depends on the other's population size, demonstrating interdependent population dynamics.

What role does the growth rate R play in exponential population growth?

The growth rate R represents the proportion of new offspring produced by each individual per generation. Higher R values produce larger population sizes after a fixed number of generations. In exponential growth simulations, increasing R dramatically accelerates population expansion, demonstrating how reproductive rate directly determines population trajectory independent of carrying capacity constraints.

How does initial population size affect long-term population growth?

Initial population size influences the absolute population numbers achieved after a set number of generations in exponential growth models. Larger starting populations result in proportionally larger final populations when growth rate remains constant. However, the growth pattern shape remains similar regardless of initial size, as the exponential growth rate determines the trajectory.

What parameters control how quickly a population reaches carrying capacity?

The maximum growth rate, R max, determines how quickly populations approach carrying capacity in logistic growth models. Higher R max values cause populations to reach carrying capacity faster, while lower values result in slower approach. Carrying capacity itself sets the population limit, but R max controls the speed at which populations converge to that limit.

Crecimiento de la población

Conceptos Preparación del instructor Protocolo del estudiante

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¿Alguna vez ha considerado los efectos ambientales de los peces criados en granjas o capturados en la naturaleza? Podemos estudiar los impactos ecológicos de estas prácticas, observando el crecimiento de la población. Un grupo de individuos de una sola especie, que viven en un área al mismo tiempo, se denomina población.

En la naturaleza, las poblaciones de peces crecen a un ritmo elevado, cuando los recursos son abundantes. Sin embargo, el crecimiento de la población se ralentiza cuando su tamaño se acerca a la capacidad de carga, k, que es el tamaño máximo de la población permitido por los recursos de un hábitat. Este tipo de crecimiento poblacional se conoce como crecimiento logístico. Si conocemos el tamaño de la población de la generación actual, o Nt, la tasa máxima de crecimiento, r-max, que es la tasa reproductiva de un individuo cuando no existe competencia, y la capacidad de carga, podemos usar la fórmula de crecimiento logístico para estimar el tamaño de la población de la próxima generación.

En las piscifactorías, los recursos como el alimento adicional y el oxígeno se agregan artificialmente a un área de vida relativamente pequeña, lo que permite densidades de población por encima de las capacidades de carga naturales. Sin embargo, el hacinamiento libera un exceso de biomateriales, y esto puede provocar floraciones de algas. Si estos recursos permanecen altos, las cianobacterias o algas verdeazuladas pueden continuar dividiéndose a la misma tasa de crecimiento. Y este crecimiento no se limita a la capacidad de carga. Debido al continuo aumento de los recursos. Por lo tanto, aumenta exponencialmente y el tamaño de la próxima generación en crecimiento exponencial se puede calcular utilizando esta fórmula. Las floraciones de algas como esta agotan el oxígeno disuelto en el agua y son perjudiciales para los peces de cultivo y el ecosistema alrededor de la instalación, lo que requiere prácticas agrícolas cautelosas.

La pesca de poblaciones silvestres también puede afectar los ecosistemas. Si los pescadores eliminan los individuos más rápido de lo que la población puede reponerlos con nuevos peces, entonces las poblaciones se vuelven más pequeñas y pueden tener dificultades para recuperarse si la presión de depredación continúa al mismo ritmo. Esto, a su vez, puede alterar el equilibrio entre las especies depredadoras y presas. Los científicos pueden estimar los tamaños de las futuras poblaciones de presas y depredadores, o Vt +1 y Ct +1, respectivamente, siempre que conozcan los tamaños actuales de ambas poblaciones, Vt y Ct, las tasas de crecimiento de depredadores y presas, f y r, y las tasas de ataque e inanición de los depredadores, a y q. Por lo general, una gran población de depredadores reduce el tamaño de la población de presas. Pero luego, el menor grupo de presas disponible a su vez reducirá la población de depredadores. Tener menos depredadores permite que las presas vuelvan a prosperar, y las dos poblaciones oscilarán naturalmente de un lado a otro, con el tiempo. La regla de oscilación es una buena manera de visualizar muchas interacciones naturales entre depredadores y presas, pero, en ocasiones, la regla no se aplica.

En las especies invasoras, como el pez león en el Atlántico y el Caribe, lejos de sus aguas nativas de los océanos Indo-Pacífico, no tienen depredadores naturales y pueden reproducirse durante todo el año. Pero como depredador generalista, consume numerosas especies nativas a tasas insostenibles, alterando permanentemente los ecosistemas del Atlántico y el Caribe. Aplicando el modelo de crecimiento exponencial, que vimos en el ejemplo de las algas, los científicos determinaron que aproximadamente una cuarta parte de toda la población de pez león tendría que ser eliminada cada mes, para mantener su crecimiento sostenible. Por lo tanto, comer pez león del Atlántico capturado en la naturaleza y otras especies invasoras comestibles en realidad apoya la salud de los ecosistemas.

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Modelo de Crecimiento Exponencial de la Población
- NOTA: En estos experimentos utilizará software informático para simular diferentes tipos de modelos de crecimiento. HIPÓTESIS: La hipótesis experimental podría ser que si aumentamos R, la tasa reproductiva o el tamaño inicial de la población, NT, esto aumentará el tamaño de la población después de 10 generaciones en un modelo de crecimiento exponencial en comparación con las poblaciones de control no manipuladas. La hipótesis nula puede ser que las poblaciones de diferente R y tamaño de población inicial tendrán el mismo tamaño de población que los grupos de control después de 10 generaciones.
- Para construir un modelo de crecimiento exponencial de la población, primero abra un nuevo libro de trabajo en Excel.
- Guarde el archivo en una ubicación segura y asígnele el nombre "crecimiento exponencial".
- Etiquete la celda A1 como "generación" y la celda B1 como "tamaño de la población".
- Escribe el número cero en la celda A2. Esta fila representará la generación inicial.
- En la celda A3 escriba esta fórmula: = 1 + A2
- Ahora pulsa enter.
- Haga clic en la celda A3 y arrastre el pequeño cuadro en la esquina inferior derecha a la celda A12 durante 10 generaciones.
- Escriba el número dos en la celda B2. Esto representará el tamaño inicial de la población en el modelo.
- Etiquete la celda E1 como "tasa de crecimiento", y en la celda E2 escriba el número 0.05. Este valor representa la proporción de nuevas crías producidas por cada individuo para cada generación, o R en el modelo de crecimiento exponencial.
- NOTA: En la ecuación clásica de crecimiento exponencial, T es la generación, y NT es el número de organismos en la generación actual. NT+1 será el número de individuos en la próxima generación.
- Ingrese la ecuación de crecimiento exponencial en la celda B3 como la fórmula que se muestra aquí: = B2 + (1 + E2) * B2
- Ahora, pulsa enter.
- Haga clic en la celda B3 y arrastre el pequeño cuadrado en la esquina inferior derecha hasta la celda B12 para simular 10 generaciones de crecimiento exponencial.
- Para observar los resultados, seleccione todos los datos, junto con los encabezados, en las columnas A y B.
- Haga clic en "insertar" y seleccione "diagrama de dispersión con líneas suaves y marcadores" en la barra de herramientas. Debería aparecer un diagrama de dispersión en la hoja. SUGERENCIA: Si no es así, compruebe si se ha creado una nueva hoja en el libro.
- Etiqueta el eje Y como "tamaño de la población" y el eje X como "generación". Titula el gráfico "crecimiento exponencial de una población".
- Observa cómo la población aumenta en un patrón clásico de crecimiento exponencial.
- A continuación, cree la Tabla 1 etiquetando la "tasa de crecimiento R" como el encabezado de la columna A, y "tamaño de la población después de 10 generaciones" como la segunda columna.
- Registra el tamaño de la población en la generación 10 para una tasa de crecimiento de 0.05, la tasa que acabamos de simular.
- Ahora, establezca la tasa de crecimiento en la celda E2 en 0.1 y repita los pasos para generar un nuevo diagrama de dispersión.
- Registra el tamaño de la población en la generación 10.
- Continúe alterando la tasa de crecimiento utilizando los valores de la tabla uno, notando cómo cambia el eje Y para acomodar los valores crecientes.
- Después de completar la Tabla 1, vuelva a establecer la tasa de crecimiento en 0.05 y cambie el tamaño inicial de la población en la celda B2 a 100 individuos.
- Registre el tamaño de la población en la generación 10 en una nueva tabla, Tabla 2.
- Proceda a cambiar el tamaño de la población inicial utilizando los valores de la Tabla 2. Una vez que la tabla esté completa, guarde la hoja de Excel y ciérrela.
Modelo Logístico de Crecimiento de la Población
- HIPÓTESIS: En un modelo de crecimiento logístico, la hipótesis experimental podría ser que las poblaciones se acercarán y cumplirán con la capacidad de carga, y cualquier población con tamaños mayores que la capacidad de carga disminuirá en la generación siguiente. La hipótesis nula podría ser que el crecimiento de la población no seguirá una curva logística en forma de S en los modelos logísticos, y que las generaciones con tamaños de población mayores que la capacidad de carga continuarán aumentando o permaneciendo igual en la próxima generación.
- Para construir un modelo de crecimiento logístico de la población, abra una nueva hoja de cálculo en Excel.
- Guarde el archivo como "crecimiento logístico" en la misma carpeta que antes.
- Luego etiquete la celda A1 como "generación" y B1 como "tamaño de la población".
- Escriba el número cero en la celda A2. Esta fila representará la generación inicial.
- En la celda A3 escriba la fórmula: = 1 + A2
- Ahora, pulsa enter.
- Ahora, haga clic en la celda A3 y arrastre el pequeño cuadro en la esquina inferior derecha a la celda A12 para numerar hasta la 10ª generación.
- Escriba el número dos en la celda B2 para representar el tamaño inicial de la población.
- Etiquete la celda E1 como "tasa de crecimiento máxima" y la celda F1 como "capacidad de carga".
- Finalmente, establezca la tasa de crecimiento máxima en la celda E2 en 0.05. Este valor representará la tasa máxima de crecimiento que puede alcanzar la población: "R max" en la ecuación logística discreta. NOTA: En la ecuación clásica de crecimiento logístico, el término K representa la capacidad de carga. A medida que el tamaño de la población de la generación actual o NT se acerca a la capacidad de carga, el crecimiento de la población comienza a disminuir.
- Ahora establece la capacidad de carga en la celda F2 en 50.
- Ingrese la ecuación de crecimiento logístico en la celda B3 como la siguiente fórmula: = B2 + ((1 + E$2) * B2) * ((F$2 - B2) /F$2)
- Ahora pulsa enter.
- Arrastra la fórmula hacia abajo hasta la celda B12 para agregarla a las 10 generaciones.
- Para observar los resultados de este ejercicio, resalte todos los datos y encabezados en las columnas A y B, luego haga clic en "insertar" y seleccione "diagrama de dispersión con líneas suaves y marcadores".
- Etiqueta el tamaño de la población del eje Y y la generación del eje X.
- Titula el gráfico como crecimiento logístico de una población.
- Observe el crecimiento de la población a medida que se acerca a la capacidad de carga y registre la generación que la población alcanza o supera en una nueva tabla.
- Ahora establece la tasa de crecimiento máxima en la celda E2 en 1.
- Observa cómo responde la población cuando supera la capacidad de carga.
- Continúe ajustando la tasa de crecimiento máxima a los valores de la Tabla 3 y registre la generación en la que la población aumenta dos o más de la capacidad de carga.
- Ahora establece la tasa de crecimiento máxima en 0.05 y establece la capacidad de carga en 1,000.
- Observe cómo cambia el gráfico a medida que el crecimiento se acerca a la capacidad de carga.
- Arrastra las fórmulas de A12 y B12 hacia A14 y B14.
- Ajusta el gráfico para incluir estos nuevos puntos de datos para mostrar cuándo la población alcanza la capacidad de carga.
- Guarde la hoja de Excel y ciérrela.
Modelo Depredador-Presa
- Hipótesis: En nuestra tercera simulación de logística depredador-presa, la hipótesis experimental podría ser que las poblaciones de depredadores aumentarán a medida que aumenten las poblaciones de presas y que las dos poblaciones experimentarán crecimiento y declive dependiendo de la población de las otras especies. La hipótesis nula puede ser que las dos poblaciones mostrarán patrones de crecimiento no relacionados con el tamaño de la población de la otra especie.
- Para construir un modelo depredador-presa, abra una nueva hoja de cálculo en Excel.
- Guarde el archivo en la misma carpeta que los otros dos modelos y asígnele el nombre "modelo depredador-presa".
- Etiquete la celda A1 "tiempo", la celda B1 "presa" y la celda C1 "depredador".
- En la celda A2 escribe cero y pulsa enter.
- En la celda A3 escriba la siguiente fórmula: = 1 + A2
- Ahora pulsa enter.
- Arrastre la fórmula hacia abajo hasta la celda A802 ya que el modelo requerirá muchos puntos de tiempo para visualizar los cambios de ambas poblaciones.
- Ahora escriba 100 en la celda B2 para representar la población inicial de presas y escriba 25 en la celda C2 como la población inicial de depredadores.
- Etiquete la celda E1 "tasa de crecimiento de la presa", la celda F1 "consumo de presas por el depredador", la celda G1 "eficiencia de conversión" y la celda H1 "inanición del depredador".
- Escriba el número 0.02 en la celda E2. Este valor representa la tasa de crecimiento de la especie de presa o R en el modelo de población de presas. NOTA: Aquí la población de presas se representa como VT y la población de depredadores como CT. El valor A es la tasa de ataque per cápita de las especies depredadoras a la presa. En el modelo de población de depredadores, se introducen variables para los depredadores producidos por presa consumida, F o eficiencia de conversión, así como para la tasa de inanición de los depredadores anotada como Q.
- Type 0.0005 en la celda F2 para la tasa de ataque tanto en la población de presas como en el modelo de población de depredadores.
- Luego escriba 0.8 en la celda G2 para representar la eficiencia de conversión, y 0.05 en la celda H2 para la tasa de inanición en la ecuación de la población de depredadores.
- Ahora escriba la ecuación de crecimiento de la presa en la celda B3 como la siguiente fórmula: =B2+(E$2*B2)-(F$2*C2*B2)
- Pulsa enter.
- Luego escriba la ecuación de crecimiento de la presa en la celda C3 como la fórmula mostrada: =C2 + (F$2*G$2*B2*C2)-(H$2*C2)
- Pulsa enter.
- Mantenga pulsadas las teclas Mayús y haga clic para seleccionar las celdas B3 y C3.
- Haga clic en el pequeño cuadro en la esquina inferior derecha de la celda B3 y arrastre las dos fórmulas hacia abajo hasta la fila 802 para simular las poblaciones de depredadores y presas a lo largo de 800 generaciones.
- Para visualizar los datos, seleccione todos los datos y encabezados en las columnas A, B y C.
- Haga clic en "insertar" y seleccione "diagrama de dispersión con líneas suavizadas".
- Debería aparecer un gráfico que muestra el cambio poblacional del depredador y las poblaciones de presas.
- Etiqueta el eje Y del tamaño de la población del gráfico y el tiempo del eje X.
- Titula la trama "interacciones depredador-presa".
- Observa las interacciones entre las poblaciones de depredadores y presas.
- Establece la población inicial de depredadores a cero y observa lo que sucede en la gráfica.
- Ahora establece la población inicial de depredadores en 120 y observa lo que le sucede a la población de depredadores cuando hay más depredadores que presas.
- Finalmente establece la población inicial de presas a cero y observa lo que sucede con la población de los depredadores.
- Experimenta con otros valores para ver qué otras interacciones se pueden crear.
- Cuando termine, guarde el libro de trabajo y ciérrelo.
Resultados
- En el modelo de crecimiento exponencial construido en la primera actividad, observa la forma de la curva de crecimiento poblacional resultante y considera si crees que este tipo de crecimiento podría ser sostenido en la naturaleza.
- Observe cómo la tasa de crecimiento R afectó el tamaño de la población después de 10 generaciones en el modelo de crecimiento exponencial.
- Considere también cómo el tamaño inicial de la población afectó el tamaño de la población después de 10 generaciones en el modelo de crecimiento exponencial.
- Ahora, considere el modelo de crecimiento logístico y observe la forma de este gráfico, observando cómo difiere del modelo de crecimiento exponencial.
- Luego, observe cómo se comportan las poblaciones a medida que se acercan a la capacidad de carga en su modelo de crecimiento logístico.
- Decide si crees que la tasa máxima de crecimiento per cápita, R max, influyó en la rapidez con la que las poblaciones alcanzaron la capacidad de carga en el modelo de crecimiento logístico.
- Además, considere qué sucede con el tamaño de la población cuando las poblaciones están por encima de la capacidad de carga en el modelo de crecimiento logístico, o qué podría suceder si se reduce la capacidad de carga.
- En el modelo depredador-presa, observe si la población de presas respondió al aumento de la población de depredadores. Por el contrario, considere cómo responden los depredadores a la disminución de las poblaciones de presas.