6.14: Teorema del límite central

El teorema del límite central, abreviado como clt, es una de las ideas más poderosas y útiles de toda la estadística. El teorema del límite central para las medias muestrales dice que si se extraen repetidamente muestras de un tamaño determinado y se calculan sus medias, y se crea un histograma de esas medias, entonces el histograma resultante tenderá a tener una forma de campana normal aproximada. En otras palabras, a medida que aumentan los tamaños de muestra, la distribución de medias sigue más de cerca la distribución normal.

El tamaño de muestra, n, que se requiere que sea "suficientemente grande" depende de la población original de la cual se extraen las muestras (el tamaño de la muestra debe ser al menos 30, o los datos deben provenir de una distribución normal). Si la población original está lejos de ser normal, entonces se necesitan más observaciones para que las medias o sumas muestrales sean normales. El muestreo se realiza con reposición.

Sería difícil exagerar la importancia del teorema del límite central en la teoría estadística. Saber que los datos, incluso si su distribución no es normal, se comportan de forma predecible es una herramienta poderosa.

La distribución normal tiene la misma media que la distribución original y una varianza que es igual a la varianza original dividida por el tamaño de la muestra. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, por lo que la desviación estándar de la distribución muestral es la desviación estándar de la distribución original dividida por la raíz cuadrada de n. La variable n es el número de valores que se promedian juntos, no el número de veces que se realiza el experimento.

Este texto es una adaptación de Openstax, Introductory Statistics, Section 7.0 Central Limit theorem.

Este texto es una adaptación de  Openstax, Introductory Statistics, Section 7.1 Central Limit theorem for Sample Means (Averages).

Considere los diagramas de puntos para poblaciones con una distribución normal y uniforme.

La distribución de las medias de la muestra para diferentes tamaños de muestra muestra que se acerca a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra: este es el principio básico del teorema del límite central.

Aunque la media de las medias de la muestra es la misma que la media de la población, su desviación estándar es menor que la desviación estándar de la población.

Sin embargo, esta regla no se aplica a las poblaciones que no son normales y con un tamaño de muestra menor o igual a 30.

Al saber que las medias de la muestra se distribuyen normalmente, se puede hacer un mejor análisis estadístico utilizando las propiedades de la distribución normal.

Por ejemplo, la regla empírica que se aplica a la distribución normal ayuda a determinar la probabilidad de que un grupo de personas tenga ponderaciones medias dentro de una, dos o tres desviaciones estándar de la media de las medias de la muestra.

Estos valores también se pueden estandarizar en puntuaciones z. Así, se podría determinar la probabilidad de un grupo de personas seleccionadas al azar con un peso medio inferior a 80 kg.