$$\rightleftharpoonup{xx}$$
$$\longleftharp{xx}$$,
$$\longrightharp{xx}$$,
La linealización es una técnica matemática que se utiliza para aproximar funciones complejas y no lineales con modelos lineales más simples en las proximidades de un punto de referencia elegido. El método se basa en la idea de que, aunque una función pueda ser difícil de evaluar con exactitud, su comportamiento cerca de un valor específico de la variable independiente puede aproximarse con precisión mediante la recta tangente en ese punto. Este enfoque es particularmente útil cuando se presentan pequeñas desviaciones con respecto a un valor conocido.
Consideremos la función raíz cuadrada, cuyo valor cuando la entrada es 4 se conoce con exactitud. Este valor sirve como un punto de referencia conveniente porque tanto el valor de la función como su tasa de variación son fácilmente medibles en este punto. No obstante, evaluar la función en un valor cercano, como 4,1, no es sencillo sin herramientas computacionales. La linealización soluciona esta dificultad reemplazando la función original con su recta tangente cerca del punto de referencia.
La aproximación de la recta tangente se construye utilizando tres componentes: el valor de la función en el valor de referencia de la variable independiente, la derivada de la función en ese mismo valor y el pequeño cambio en la variable independiente respecto al valor de referencia. Juntos, estos elementos forman la fórmula de linealización:
\begin{equation*}L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\end{equation*}
que proporciona una estimación del valor de la función cerca del valor de referencia de la variable independiente. Al sustituir el valor cercano en esta expresión, se obtiene un valor aproximado sin evaluar directamente la función no lineal original.
En el ejemplo de la raíz cuadrada, primero se calculan el valor de la función y la derivada en el valor de referencia, seguido de la diferencia entre el nuevo valor y el valor de referencia. La combinación de estas cantidades produce un valor estimado muy cercano a la raíz cuadrada real de 4,1. La pequeña discrepancia muestra tanto la eficacia como las limitaciones de la linealización. Este ejemplo demuestra cómo la linealización proporciona aproximaciones precisas y eficientes cuando las funciones son difíciles de evaluar con exactitud, siempre que el valor de la variable independiente se mantenga cerca del punto de referencia elegido.
